角平分线定理

的角平分线定理三角形的边被一条平分对角的线所分成的两段的相对长度。它使它们的相对长度等于三角形另外两条边的相对长度。

平分一个角意味着把它切成两个相等的部分或角。假设我们要等分一个50度的角，那么我们要把它分成两个25度的角。

角平分线定理

在上图中，让 $大(= x + y = c \ \ lvert \眉题{英航}\ rvert \大),$,让 $CD \ lvert \眉题{}\ rvert = e$是角的等分线的长度 $C$．

角平分线定理的最简单形式是

$c \开始{数组}{}& \压裂{一}{x} = \压裂{b} {y}{或}ay = bx & \文本。\qquad (1) \end{array}$

角平分线定理也说明了这一点 $e,$角平分线的长度 $CD \眉题{},$满足

$e ^ 2 = ab-xy。\ qquad (2)$

证明(1):

应用正弦规律在 $BCD \三角形$而且 $\三角形ACD$给了

$罪\ dfrac{一}{\ \角BDC} = \ dfrac {x}{\罪\角BCD}, ~ ~ ~ ~ ~ \ dfrac {b}{\罪\角ADC} = \ dfrac {y}{\罪\角ACD}。$

使用等式 $\sin\角ADC=\sin\左(\pi-\角BDC\右)=\sin\角BDC$而且 $\角BCD=\角ACD$ $（$自 $CD$角是平分线吗 $)，$我们得到了

$\ dfrac{一}{x} = \ dfrac{\罪\角BDC}{\罪\角BCD} = \ dfrac{\罪\角ADC}{\罪\角ACD} = \ dfrac {b} {y},$

这就是我们想要的。 $_ \广场$

证明(2):

斯图尔特的定理声明(记住 $x + y = c$）

$xy (x + y) + e (x + y) ^ 2 = y ^ 2 + b ^ 2 x。$

重新安排了 $e ^ 2 = \压裂{x ^ 2 y + b ^ 2} {x + y} xy。$然后用角平分线定理 $x = \压裂{ay} {b}$而且 $y = \压裂{bx} {},$我们有

$\{对齐}开始e ^ 2 & = \ dfrac {x ^ 2 y + b ^ 2}{\压裂{ay} {b} + \压裂{bx}{一}}xy \ \ & = \ dfrac {x ^ 2 y + b ^ 2}{\压裂{x ^ 2 y + b ^ 2} {ab}} xy \ \ & = ab-xy。\ _\方形\端{对齐}$

(1)的另一个证明:

让我们考虑一下 $三角形ABC \$,让 $AE$的角平分线 $\角$．

现在扩展 $AE$来 $D$这样 $CD$平行于 $AB$．

然后 $安倍\角$＝ $DCE \角$而且 $BAE \角$＝ $CDE \角度,$这意味着

$\三角形ABE\sim \三角形DCE。$

所以,

$\dfrac{c}{x} = \dfrac{a}{y}。$

自 $BAE \角$＝ $CDE \角$＝ $CAE \角度,$由等腰性质 $A = b，$这意味着

$\dfrac{c}{x} = \dfrac{b}{y}。\ _ \广场$

在 $三角形\ {ABC}$， $\lvert\overline{AB}\rvert=10， \lvert\overline{BC}\rvert=8， \lvert\overline{AC}\rvert=12$．让 $D$做一个侧面的点 $\眉题{AB}$这样 $CD \眉题{}$平分 $C \角$．的长度是多少 $\眉题{广告}?$

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让 $\lvert\overline{AB}\rvert=c， \lvert\overline{BC}\rvert=a， \lvert\overline{AC}\rvert=b， \lvert\overline{AD}\rvert=y， \lvert\overline{BD}\rvert=x$，那么我们现在正在寻找 $y。$

利用角平分线定理， $\压裂{y} {b} = \压裂{x}{} \意味着\压裂{y}{12} = \压裂{x}{8}。\ qquad (1)$

自 $x + y = c$或 $x = bxcy,$把这个代入 $(1）$，我们有

${对齐}\ \开始压裂{y}{12} & = \压裂{10}{8}\ \ \ \ \ Rightarrow y = 6。\ _\方形\端{对齐}$

下一个例子和前面的例子一样，但是我们要解的是长度 $e$角平分线的 $CD \眉题{}$．

在 $三角形\ {ABC}$， $\lvert\overline{AB}\rvert=10， \lvert\overline{BC}\rvert=8， \lvert\overline{AC}\rvert=12$．让 $D$做一个侧面的点 $\眉题{AB}$这样 $CD \眉题{}$平分 $C \角$的长度是多少 $CD \眉题{}?$

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在前面的例子中，我们已经找到了 $\ lvert \眉题{广告}\ rvert = 6$而且 $\ lvert \眉题{BD} \ rvert = 4$．

因此,

$\{对齐}开始e & = \ sqrt {ab-xy} \ \ & = \√6 {(8)(12)- (4)(6)}\ \ & = 6 \ sqrt{2}。\ _\方形\端{对齐}$

我们已知一个三角形，它具有以下性质:它的一个角被高度、角平分线和该顶点的中值等分(分为四个相等的角)。

求四边形角的长度。

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底座按比例分成四段 $X: X: y: 2x +y$．

假设三角形左边的长度是 $1$．
那么角平分线的长度也是 $1$．
把角平分线定理应用到大三角形上，我们可以看到右边的长度为

$\ dfrac {2 x + 2 y} {2 x} = 1 + \ dfrac {y} {x}。$

但是如果我们把角平分线定理应用到三角形的左半部分，我们得到 $\压裂{2 x + y} {y} = 1 + \压裂{2 x} {y}$同样的长度。因此,

$\dfrac{y}{x}=\dfrac{2x}{y} \表示x:y=1:\ sqt2。$

现在第三次将角平分线定理应用到由高度和中值组成的直角三角形上。底部的部分是比例 $x: y = 1: \ sqrt2$，所以高度和中值的比值是一样的。因为这是个直角三角形，所以它一定是45度 $^ \保监会$-45年 $^ \保监会$-90年 $^ \保监会$三角形。

所以这个四边形角是对的。 $_ \广场$

其他一些问题如下:

1. 求有边长的直角三角形中直角的内等分线的长度 $3、4、5$．

2. 让 $美国广播公司$是一个有角平分线的三角形 $广告$与 $D$在一边 $公元前$．如果 $\lvert\overline{BD}\rvert = 2， \lvert\overline{CD}\rvert = 5$, $\lvert\overline{AB} +\lvert\overline{AC}\rvert = 10$，什么是 $AB \ lvert \眉题{}\ rvert$而且 $\ lvert \眉题{AC} \ rvert吗?$