点与线之间的距离

点与点之间的距离 $P$和一条线 $L$之间的最短距离是多少 $P$和 $L$; 它是从点移动所需的最小长度 $P$在某种程度上 $L$．事实上，这条最短长度的路径可以被证明是一条垂直于 $L$．

距离 $D$然后可以定义为具有 $P$作为端点，并垂直于 $L$．

对于一个点和一条线（或者在三维空间中，一个平面），从技术上讲，你可以在点和线之间或者点和平面之间画无限多条线。那么，哪一条给出了“正确的”点/线或点/平面之间的距离？当我们说距离时，我们指的是从点到线/平面的尽可能短的距离，这恰好是通过点的距离线也垂直于线/平面。

但是为什么最短的线段是垂直的呢？

这是因为直角三角形中最长的边是斜边。如果我们从点到线画垂线的底边，并画出连接点到线的任何其他线段，则该线段将始终是形成的直角三角形的斜边。

点与点之间的距离是多少 $P$和线 $L$在图表中？

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连接点和线的每条线段的长度不同，但根据定义，点和线之间的距离是垂直于点的线段的长度 $L$．换句话说，它是它们之间最短的距离，因此答案是 $5.$． $_\方格$

点与点之间的距离 $P=（x_0，y_0）$和线 $L:ax+by+c=0$是

$d=\frac{ax{u0+by{u0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}。$

我们有一条通用线 $ax+by+c=0$命名 $L$. 这条线有坡度 $- \压裂{一}{b}$.我们还有一个一般性的观点 $P=（x_0，y_0）$．线距 $L$和点 $P$可以用另一条垂直于 $L$就这么定了 $T$． $T$会有坡度 $\分形{b}{a}$因为它垂直于 $L$. 现在，找到点与点之间的距离 $P$和线 $L$我们可以用一点几何技巧，画另一条线，平行于 $L$通过 $P$; 就这么定了 $s$. 同样，我们可以有另一条线，这次平行于 $T$，通过原点 $(0,0)$; 就这么定了 $R$．

现在画画的时间结束了，该开始工作了。

首先，自从 $s$穿过 $P$斜率和 $L$，其方程为

$y-y_0=-\dfrac{a}{b}（x-x_0）\n表示y=\dfrac{-ax+ax_0+by_0}{b}。$

线 $R$有等式

$y = \ dfrac {b} {x}。$

那么，行吗 $s$与直线相交 $R$什么时候

$\frac{b}{a}x=\dfrac{-ax+ax_0+by_0}{b}\意味着x=\dfrac{a（ax_0+by_0）}{a^2+b^2}。$

用回 $R$在方程中，我们发现 $s$和 $R$是

$P_1 \左（\dfrac{a（ax_0+by_0）}{a^2+b^2}，\dfrac{b（ax_0+by_0）}{a^2+b^2}\右）。$

现在让我们暂时把它放在一边，看看什么时候 $L$和 $R$相交。当两个 $y=\frac{b}{a}x$和 $ax+by+c=0 \意味着y=-\frac{ax+c}{b}$这是真的。求解这两个方程组 $x$,

$-\dfrac{ax+c}{b}=\dfrac{b}{a}x \意味着x=-\dfrac{ac}{a^2+b^2}。$

使用 $x$解决 $Y$,

$y=\dfrac{b}{a}\左（-\dfrac{ac}{a^2+b^2}\右）=-\dfrac{bc}{a^2+b^2}。$

所以，这条曲线的交点 $L$和 $R$是

$P_2 \左（-\dfrac{ac}{a^2+b^2}，-\dfrac{bc}{a^2+b^2}\右）。$

现在，使用距离公式 $d=\sqrt{（x_2-x_1）^2+（y_2-y_1）^2}，$我们可以看出两者的距离 $P_1$和 $P_2$:

$\（a^2+b^2+0+由0 0 0 0+由0 0 0 0 0 0+由0 0 0 0 0（AAax 0+由0 0 0 0 0+由0 0 0 0 0 0）开始，{a^a^2+b{{{{对齐}d d{{{{{{{{{{{1）的学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校（左（左（左）可能）左（左）一名（左（左（左）一名）或（左（左）或（左）或（左（左）学校学校学校学校学校学校学校（区）的）的）可能可能可能[[[[[区（区（区（区）的学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校学校）的）的）的）的学校（区（区）的）的）的）的）可能{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{ax\u 0+by\u 0+c）v\big]^2}{\big（a^2+b^2\big）^2}\\\\&=\sqrt{\dfrac{\big（a^2+b^2\big）（ax{u0+by{u0+c）^2}{\big（a^2+b^2\big）^2}\\\&=\sqrt{\dfrac{（ax{u0+by{u0+c）^2}{a^2+b^2}\\\\&=\dfrac{a0+c}{\sqrt{a^2+b^2}.\end{$

绝对值符号是必要的，因为距离必须为正值。 $_\方格$

这里，我们给出一个几何证明。

首先，我们画一条平行于 $L$通过 $P$，它具有以下等式 $ax+by-（ax_0+by_0）=0$然后，我们构造一个有高度的直角三角形 $D$.两条直角三角形的支腿可以通过截取 $x$- - - $Y$-两条线的轴线。斜边勾股定理是

$|ax_0+by_0+c |\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}。$

最后，通过三角形的面积，

$\{{{对齐}}开始开始{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}{{{{{{{{1}}}{{{{{1}}{{{1}}}}}{{{{2}}}}{{{2}}}{{{{2}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

考虑点给出的直线 $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$重点是什么 $vec {x} \$．直线到这一点的距离是

$\左\|{\vec{x}-\big（\vec{a}+\lambda'\vec{b}\big）}\right \|，$

哪里

$\lambda'=\frac{\vec{x}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{b}{{\left\\vec{b}\right\^2}。$

考虑垂直线上的脚 $vec {x} \$. 让我们称之为 $\向量{r}$. 我们想得到 $\左\| \vec{x}-\vec{r}\right\|$.根据定义，这是从点到线的距离。

自 $\向量{r}$就在这条线上，它满足了 $\vec{r}=\vec{a}+\lambda'\vec{b}$对于一些 $\兰姆达$. 因为它垂直于直线，我们有

$\[3}{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{}}}{{{{{{{{}}}}{{{{{{{}}}}（\vec{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{b}{\left\\\vec{b}\right\\^2}.\\正方形\端点{aligned}$

这种方法的优点是它适用于任何维度。

找出点与点之间的距离 $(5, 1)$和线 $y=3x+1$．

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我们有

$d=\dfrac{\big}ax{u0+by{u0+c\big}{\sqrt{a^2+b^2}}。$

鉴于 $（x_0，y_0）=（5，1）$和 $0=3x-y+1，$

$d=\dfrac{\big}3\cdot5-1\cdot1+1\big}{\sqrt{3^2+（-1）^2}}=\dfrac{15}{\sqrt{10}.\\square$

求直线之间的距离 $y=2x+5$和 $Y = 2x + 2016$．

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请注意，这两条线是平行的（相同的坡度），因此我们可以在其中一条线上选择一个点，然后应用公式。

但是等等，如果你尝试不同的点，你不会得到不同的结果吗？让我们在这条线上尝试两个不同的点 $y=2x+5$．

如果 $（x_0，y_0）=（1,7）$和 $2x-y+2016=0$，然后应用公式，我们得到

$d=\dfrac{\left}2\cdot 1-1\cdot 7+2016\right}{\sqrt{2^2+（-1）^2}}=\dfrac{2011}{\sqrt{5}。$

如果 $（x_0，y_0）=（2，9）$和 $2x-y+2016=0$，然后应用公式，我们得到

$d=\dfrac{\left}2\cdot2-1\cdot9+2016\right}{\sqrt{2^2+（-1）^2}}=\dfrac{2011}{\sqrt{5}.\\uSquare$

为读者……

• 你如何证明这一点 $y=2x+5$可以在上述公式中使用，并且仍然可以得到相同的距离 $y=2x+5$和 $y=2x+2016？$
• 另外，你如何证明，如果你在地图上使用任何一点，你仍然可以得到相同的距离 $Y = 2x + 2016$和线 $y=2x+5？$

找出点与点之间的距离 $(1,2 , 3 )$飞机呢 $x+2y-3z=44$．

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这个公式是用来求线与点之间距离的公式的扩展:

$d = \ dfrac{\左| ax_0 + by_0 + cz_0 + d \ |}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}}。$

利用我们掌握的信息，

$d=\dfrac{\left}1\cdot1+2\cdot2-3\cdot3+44\right}{1^2+2^2+（-3）^2}=\dfrac{40}{\sqrt{14}.\uz$

求直线之间的距离 $\vec{a}（t）=\left\langle 1,2,3\right\rangle+\left\langle 4,5,6\right\rangle t$和 $\vec{b}（t）=\left\langle 8,9,4\right\rangle-\left\langle-3，-2,4\right\rangle t$．

找出两条线之间的距离 $\向量{a}（t）=\left\langle 0,0,6\right\rangle+\left\langle 1,2，-2\right\rangle t$飞机呢 $2x+y+2z=10$．

求两条不同直线之间的角平分线方程

$\开始{aligned}a_1x+b_1y+c_1&=0\\a_2x+b_2y+c_2&=0\结束{对齐}$

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请注意，一对直线之间有两条角平分线——一条平分锐角，另一条平分直线之间的钝角（如果直线垂直，则无论如何形成两个直角）。

两条直线的角平分线的一个性质是，其上的每个点与两条直线的距离相等。
这可以通过将两条直线上的垂直度从该点开始并使用生成的三角形的同余来证明。

如果 $（x_0，y_0）$是角平分线上的一个点，我们可以将到直线的距离等于

$\左| \frac{a|u1x_0+b_1y_0+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}\right}=\left | \frac{a_2x_0+b_2y_0+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}\right}。$

删除绝对值符号，

$\frac{a_1x_0+b_1y_0+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}=\pm\frac{a_2x_0+b_2y_0+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}。$

现在，在任意一侧移动类似项，以得到以下形式的结果方程：

$a_3x_0+b_3y_0+c_3=0。$

在这里

$\3{{{对齐{{{对齐}}开始开始{{{{对齐}}{{{{{对齐}}亚洲地区3{{{{对齐{{{{{{{{对齐{{{{{{对齐}}}3{{{{{{{{{{{{1.1^2+2+2+b{{{{{{{{{2}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}开始开始开始开始开始开始学校学校学校学校学校学校学校的一一一一一一一一一个可能可能可能{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\pm\frac{c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}.\end{aligned}$

所以，角平分线的方程将是

$a_3x+b_3y+c_3=0。$

这个 $\首相$告诉我们有两个可能的 $a_3，b_3，c_3，$因此有两个角平分线，正如我们上面讨论的。 $_\方格$