连续随机变量-定义

连续随机变量描述概率情况下的结果，其中一些量的可能值可以形成一个连续体，这通常(但不总是)是整个实数集 $R \ mathbb {}$．它们是一般化的离散随机变量无限可能结果的集合。

连续随机变量对统计物理模型至关重要，因为系统中的大量自由度意味着许多物理特性无法预先准确预测，但可以用连续分布很好地建模。特别是,量子力学系统经常使用连续随机变量，因为在这些情况下，物理属性甚至可能没有确定的值。

回想一下，随机变量是一个从统计分布中得出的数量，也就是说，它没有固定的值。一个连续随机变量为统计分布连续的随机变量。正式:

一个连续随机变量是一个函数 $X$关于在连续集合中取值的概率实验的结果 $V$．

也就是说，可能的结果存在于一个形式上(通过实分析)连续的集合中，它可以从没有间隙的直觉意义上理解。这一事实 $X$从技术上讲，是一个函数，在测度理论的形式领域之外，在实际应用中通常可以忽略不计。在应用程序中, $X$被视为一个可以波动的量，例如在重复的实验中，它有统计性质的意思是和方差．

在下一篇文章中连续概率密度函数的意义 $X$将在更实际的环境中进行探讨。

下面哪个是连续随机变量?

(1)一对骰子上的数字之和。

(2)投掷10枚硬币的可能结果集。

(3)投掷(可数)无限枚硬币的可能结果集。

(4)任何一天室外可能的温度值。

(5)一个人可能到达餐馆的时间。

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解决方案:

(4)(5)为连续随机变量。按照以下顺序逐一检查每个案例:

(1)忽略骰子的重新排序和重复值，两个骰子上有36个可能的值集。实际上，这个数字要比这个小，但需要更仔细的计算。然而，这足以说明该值是一个离散随机变量，因为可能值的数量是有限的。

(2)同样，可能的结果集更大 $2 ^ {10}$但这是有限的，与第(1)的逻辑是相同的。

(3)这种情况更有趣，因为有无限多的硬币。然而，只有数不清的几组结果。实数的可数集是不连续的(考虑可数有理数，它不是连续的)。

(4)任何一天的室外温度都可以是给定合理范围内的任何实数。特别是在没有两天是温度完全同一个数的小数点后无限位。因此，温度的值是连续的。

(5)这种情况类似于(4):没有两个人曾经到达完全同样的时间，以无限的精度。一个人到达的精确时间是实数集合中的一个值，它是连续的。请注意，这意味着在任何给定时间到达的概率为零，这一事实将在下一篇文章中讨论。

看到均匀随机变量，正态分布,指数分布为更多的细节。

均匀随机变量

均匀随机变量是指每个值的概率相等。例如，在区间上一致的随机变量 $[0, 1]$是:

$F (x) = {begin{cases} 1 \quad & x \in [0,1] \\ 0 \quad & \text{else} \end{cases}。$

一个随机变量 $[0, 1]$．

正常随机变量

正态随机变量从经典的“钟形曲线”中得到，其分布如下:

$f (x) = \压裂{1}{\ sqrt{2 \π\σ^ 2}}e ^{- \压裂{(x - \μ)^ 2}{2 \σ^ 2}},$

在哪里 $\μ$和 $\σ^ 2$分别为分布的均值和方差。正态分布的峰值集中在 $\μ$和 $\σ^ 2$描述了峰的宽度。

一个正态随机变量 $\μ= 0$和 $\σ^ 2 = 1$．

指数分布随机变量

从分布中得出一个指数随机变量:

$F (x) = e^{- x}，$

在哪里 $\λ$为衰变速率。这个分布有平均值 $\压裂{1}{\λ}$和方差 $\压裂{1}{\λ^ 2}$．指数随机变量通常用于测量事件之间的时间间隔，如放射性衰变。在这种情况下，均值公式是有意义的:值越大 $\λ$，衰变速率越快，平均预期一次衰变发生的时间就越短。

带参数的指数分布 $\λ= 2$．