指数分布

的指数分布是一个连续概率分布它描述了在一系列连续发生的独立试验中获得成功所需要的时间。这是一个连续的类比几何分布．

的泊松分布离散分布模型是给定事件的平均数量，在一个时间间隔内事件发生的次数吗 $\λ$时间间隔内发生的时间是已知的。特别是,如果 $X$泊松是分布的吗 $\λ$,然后

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

许多现实生活中的过程都可以建模为泊松过程。例如，在一场足球比赛中进球的数量，或者在某一特定时间里去看医生的病人数量，都可以被认为是泊松分布的随机变量。

现在,假设 $X$泊松是平均分布吗 $\λ$，并假设它描述了在一段时间内病人到达医生办公室的情况 $[0, 1]$．然后，有一个随机变量的集合 $X_t$被 $t \ [0, 1]$,在那里 $X_t$表示该时间间隔内到达的次数 $[0, t]$．每一个 $X_t$表面上是泊松分布，平均值是 $t \λ$．特别是，泊松过程的一个特点是它是平移不变的:到达的病人数量只取决于他们发生的时间间隔的长度，而不取决于时间间隔的开始时间。

为每一个 $t \ [0, 1]$定义一个连续随机变量 $Y_t$表示下一个病人到达所需要的时间，假设那个病人在同一时间到达 $t$．然后,事件 $(Y_t > x)$和事件是完全一样的吗 $(间{t} =间{t + x})$．因此,

$P (Y_t > x) = P (X_t =间{t + x}) = P (X_0 =间{x}) = P(间{x} = 0) = e ^ {- x \λ}。$

注意所有的随机变量 $Y_t$有相同的分布，不像 $X_t$的分配 $Y_t$被称为指数分布。在这种情况下，数字 $\λ$被称为速度参数指数分布。

更一般地说，指数分布可以被认为是一种连续的模拟几何分布．一个几何分布的离散随机变量描述了获得成功所需的试验次数;类似地，指数分布，如上所述，描述了一个人获得成功所需的时间。

带有速率参数的指数分布 $\λ$来标示 $\ mathcal {E}(\λ)$．由以上计算可知，该分布的累积密度函数为

$f{\λ}左(x) = \ \{\{数组}{你}开始1 - e ^{- \λx} &:通用电气0 x \ \ \ 0 &: x < 0。数组{}\ \端。$

对它进行微分可以得到概率密度函数为

$p_{\λ}左(x) = \ \{{数组}{你}\ \开始λe ^{- \λx} &:通用电气0 x \ \ \ 0 &: x < 0。数组{}\ \端。$

任何现实生活中的过程，包括无限多个连续发生的试验，都可以用指数分布来建模。这个模型是否准确，将取决于成功发生的恒定速率的假设是否有效。在实践中，情况往往并非如此:例如，在晚上6点到7点之间接到电话的可能性可能是在晚上10点到11点之间的两倍。

然而，如果考虑的时间间隔确实有一个电话呼叫发生的大约恒定的速率(例如，下午6点到7点之间的时间;我们可以合理地假设，在这一小时内，打电话的频率大约是恒定的)，那么直到下一次打电话的时间就可以被合理地建模为指数分布的随机变量。