电场的保守性gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba静电场的保守性gydF4y2Ba建立静电场作为gydF4y2Ba保守的领域gydF4y2Ba．这就为gydF4y2Ba能量守恒gydF4y2Ba和gydF4y2Bawork-kinetic能量定理gydF4y2Ba在讨论电场和电场力时。gydF4y2Ba

在力学中，对话开始于静态的讨论，如力。不过，研究运动的必要性很快就引出了一个定义gydF4y2Ba工作gydF4y2Ba．电场的保守性质使功的力学概念可以迅速应用到有关功、能量、速度和位移的电问题中。gydF4y2Ba

回想一下，在力学中功被定义为力和位移矢量的点积，gydF4y2Ba $W = vec {F} \ \子弹\ vec {d}gydF4y2Ba$．这就产生了一些在静电学研究中非常有用的规则。gydF4y2Ba

如果一个质点垂直于电场位移，那么电场不对质点做功。gydF4y2Ba

电场做的功是gydF4y2Ba $W = qEd_{\平行}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

1）gydF4y2Ba $W = vec {F} \ \子弹\ vec vec {E} {d} =问\ \子弹vec {d} = qEd \ \ cos(90) = 0 \文本{J}gydF4y2Ba$

2）gydF4y2Ba $W = vec {F} \ \子弹\ vec vec {E} {d} =问\ \子弹\ vec {d} =量化宽松(d \因为\θ)= qEd_{\平行}gydF4y2Ba$

带电荷的粒子gydF4y2Ba $q = -6\mu \text{C}gydF4y2Ba$从(0gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$, 0gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$) (1gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$, 2gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$)在有电场的区域gydF4y2Ba $vec {E} \ =(7.0 \压裂{\文本{N}}{\文本{C}}) \帽子{x}gydF4y2Ba$．求电场做的功。gydF4y2Ba

解决方案:gydF4y2Ba用这个定理，电场做的功是gydF4y2Ba $W = qEd_{\平行}gydF4y2Ba$．因为电场指向x方向，平行位移正好gydF4y2Ba $d_\parallel= x = x_f - x_0 = 1 \text{m}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

$W = qEd_{\平行}=(6 \μ\ {C})文本(7 \压裂{\文本{N}}{\文本{C}})文本(1 \ {m})gydF4y2Ba$

$W = -4.2 \times 10^5 \text{J}gydF4y2Ba$

结合gydF4y2Bawork-kinetic能量定理gydF4y2Ba，gydF4y2Ba $W = \△KgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba能量守恒gydF4y2Ba，用上面给出的公式gydF4y2Ba

$qEd_{\平行}= \△KgydF4y2Ba$

现在动能，gydF4y2Ba $K = \ dfrac {1} {2} mv ^ 2gydF4y2Ba$，粒子通过电场的速度就能很快地计算出来。gydF4y2Ba

2.1gydF4y2Ba $文本\{公斤}gydF4y2Ba$粒子的电荷gydF4y2Ba $q = 5\mu \text{C}gydF4y2Ba$从静止开始，然后从静止移动gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$, 1gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$) (3gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$， 4gydF4y2Ba $文本\ {m}gydF4y2Ba$)在有电场的区域gydF4y2Ba $vec {E} \ =(7.0 \压裂{\文本{N}}{\文本{C}}) \帽子{y}gydF4y2Ba$．求它的最终速度。gydF4y2Ba

解决方案:gydF4y2Ba

$qEd_{\平行}= \△KgydF4y2Ba$

$qEd_{\平行}= K_f - K_0gydF4y2Ba$

$qEd_{\平行}= K_fgydF4y2Ba$

$qEd_{\平行}= \ dfrac {1} {2} mv_f ^ 2gydF4y2Ba$

$大概{v_f = \ \ dfrac {2 qed_{\平行}}{m}}gydF4y2Ba$

因为电场指向y方向，平行位移正好gydF4y2Ba $d_\parallel= Delta y = y_f - y_0 = 4 - 1 = 3 \text{m}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

$大概{v_f = \ \ dfrac {2 qed_{\平行}}{m}} = \√6 {\ dfrac{2(5 \μC) (7.0 \ dfrac {N} {C})(3米)}{2.1公斤}}= 10 ^{2}\压裂{\文本{m}}{\文本{年代}}gydF4y2Ba$

保守字段可以写成gydF4y2Ba梯度gydF4y2Ba标量势的gydF4y2BaVgydF4y2Ba作为gydF4y2Ba

$vec {E} = \ \微分算符VgydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba电场的标量势gydF4y2Ba众所周知gydF4y2Ba $V = \ dfrac {kQ} {r}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

$vec {E} = \ \微分算符VgydF4y2Ba$

的梯度gydF4y2Ba球坐标gydF4y2Ba是gydF4y2Ba $\nabla = {partial \over \partial r}\hat{r} + {1 \over r}{partial \over \partial \theta}\hat{\theta} + {1 \over r\sin}{partial \over \partial \varphi}\hat{\varphi}gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba

$\ nabla v = {\ partial v \ over \ partial r} \ hat {r} + {1 \ over r} {\ partial v \ over \ partial \ theta} \ hat {\ theta} + {1 \ over r \sin \ theta} {\ partial v \ over \ partial \ varphi} \ hat {\ varphi}。gydF4y2Ba$

评估每一个gydF4y2Ba偏导数gydF4y2Ba标量势方程，gydF4y2Ba $V = \ dfrac {kQ} {r}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

$\ dfrac{\部分V}{\部分r} = - \ dfrac {kQ} {r ^ 2}gydF4y2Ba$

$\偏V}{偏\theta} = 0gydF4y2Ba$

${partial \varphi} = 0gydF4y2Ba$

用这些偏导数和梯度的定义，只是gydF4y2Ba $r \帽子{}gydF4y2Ba$分量保留下来，因为其他分量包含的偏导数等于0。gydF4y2Ba

$\vec{E}={partial V \over partial r}\hat{r} + {1 \over r}{partial V \over partial \theta}\hat{\ var}gydF4y2Ba$

$vec {E} = - \ \ dfrac {kQ} {r ^ 2} \帽子{r}gydF4y2Ba$

注意:gydF4y2Ba负号是电场和标量势之间关系为的原因gydF4y2Ba实际上gydF4y2Ba写gydF4y2Ba

$vec {E} = - \ \微分算符VgydF4y2Ba$