特征多项式

的特征多项式矩阵是a多项式关联到一个矩阵这就给出了关于矩阵的信息。它是密切相关的行列式它的根是特征值的矩阵。它可以用来找到这些特征值，证明矩阵相似性，或描述a线性变换从一个向量空间本身。

特征多项式 $p_M (x)$一个 $n \ n$矩阵 $米$是由 $p_M(x) = \text{det}(xI - M)，$在哪里 $我$单位矩阵的秩是多少 $n$．

主页:特征值和特征向量

特征值就是这些值 $\λ$满足，对于某个非零向量 $v$， $M v = v$．

让 $一个$是一个 $n$——- - - - - - $n$矩阵，以便它对应于一个变换 $R \ mathbb {} ^ n \ \ mathbb {R} ^ n$．如果 $\λ$特征值是什么 $一个$，那么就有一个向量 $v \中\ mathbb {R} ^ n$这样 $Av = v$．重新整理一下这个方程就可以看出 $(A - \cdot I)v = 0$,在那里 $我$表示 $n$——- - - - - - $n$单位矩阵。这意味着矩阵的零空间 $——\λ\ cdot我$是零,所以 $——\λ\ cdot我$行列式为零。

注意对于每个矩阵 $一个$有0作为特征值，有特征向量 $(0,0， \cdots, 0) \in \mathbb{R}^n$．一般来说，我们只关心与特征值相关的非零特征向量，因此按照惯例 $0$被认为是 $一个$只有当的零空间 $一个$是否为非零(等价地，何时 $x$分 $p_{一}(x)$)．

因此，的任何特征值 $一个$一定是多项式的根吗 $p_{A} (x) = det(A - x \cdot I)$．这叫做特征多项式的 $一个$．注意，这意味着 $一个$只有有限多个特征值(事实上，最多 $n$特征值)。

在计算中，特征多项式是非常有用的。来确定矩阵的特征值 $一个$，一个解的根 $p_{一}(x)$，然后检查每个根是否是一个特征值。

两个矩阵 $米$和 $N$是相似的，如果存在一个矩阵 $一个$这样 $N = ^ {1}$．由此可见, $\{侦破}{对齐}\文本(xI - M) & ={侦破}\文本(^{1})文本\{侦破}(xI - M) \ \ & ={侦破}\文本(^{1}){侦破}\文本(xI - M){侦破}\文本(一)\ \ & = \文本{侦破}(^{1}夏——^ {1}MA) \ \ & ={侦破}\文本(xA ^ {1} - N) \ \ & ={侦破}\文本(xI - N)。结束\{对齐}$所以 $米$和 $N$有相同的特征多项式。

在某种意义上，组合学是研究有限对象的不变量。特征多项式为某些类型的对象和主题提供了一个很好的不变量示例，例如图，偏序集,拟阵它们都有相关的矩阵，其特征多项式具有组合的重要性。

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