惯性矩
的惯性矩是一个物理量,描述物体绕给定轴旋转的容易程度。它是质量的一个旋转类比,用来描述一个物体对平移运动的阻力。惯性是物质在运动状态中抵抗变化的特性。惯性是一种力的度量,这种力使静止的物体静止,或使运动的物体以当前的速度运动。惯性越大,在给定的时间内使速度发生变化所需要的力就越大。假设一个重型卡车和一盏灯的车都是在休息,然后直觉上我们知道将需要更多的力量推动卡车一定的速度在一个给定的时间比需要推动汽车,在相同的时间相同的速度。
同样,转动惯量是物质在旋转运动状态下抵抗改变的特性。转动惯量越大,能量的量就越大转矩这将需要在给定的时间内带来相同的角速度变化。在这里,扭矩和角速度是力和速度的角速度类比,与惯性矩的关系就像力和速度与质量的关系一样。
与惯性不同,惯性矩不仅与质量有关,还与计算惯性矩所绕轴的质量分布有关。一个物体在不同的轴上有不同的转动惯量。也就是说,要使一个物体以相同的角加速度绕不同的轴旋转,需要不同的扭矩(或力)。这个概念在整个机制中都是相关且非常必要的。如果没有旋转,生活就会很简单,但实际上我们需要同时处理平移和旋转(通常是同时)。这是分析更复杂运动的必要部分。
转动惯量,有多直观?
转动惯量表示物体保持在旋转运动状态的趋势。如果一个物体的质量越大,它就越难旋转。考虑两个半径相同的球体:一个是木头做的,一个是铁做的。两者到旋转轴的距离相同。
哪个更容易旋转?用木头做的那个更容易旋转,因为它的质量较小。它需要更多的努力,更大的质量进入旋转。因此,转动惯量取决于质量。
考虑两个相同的物体,质量相同,离旋转轴的距离不同:
要使它们都绕同一旋转轴旋转并非同样容易。物体在更大的距离上要加速到相同的角速度,就需要付出更多的努力。因此,可以计算出转动惯量与到轴的距离有关。如果质量离轴越远,它的转动惯量就越大。
考虑如图所示的板球拍。球拍有两个可以旋转的轴。绕哪个轴更容易旋转?我们需要相同或不同的扭矩来产生两个轴上相同的角加速度吗?如果不同,那么哪个轴需要的扭矩更小?
答案是绕2轴旋转更容易。当质量远离轴时,旋转就变得更加困难。因此,蝙蝠对轴有不同的转动惯量。球拍绕2轴的转动惯量小于绕1轴的转动惯量。因此,我们可以说,随着质量远离轴,它的转动惯量增加,旋转变得更加困难。
一般属性和概念
- 转动惯量是a张量数量。不同的坐标轴有不同的值。
- 它取决于质量以及质量绕轴的分布。
- 物体在不同的轴上有不同的转动惯量。
- 它是物质的固有属性,它试图保持角运动状态,除非它受到外部力矩的强迫。
- 它是一种扩展的(可加性的)特性:复合系统的惯性矩是其各组成部分的子系统的惯性矩之和(所有子系统都是围绕同一轴取的)。
质点
a的转动惯量质点 关于垂直距离的轴 从它是给予 .
因此,如果质点到轴的距离增加一倍,惯量就增加四倍。如果质量增加一倍,惯量也会增加一倍。
质量分布的惯性矩
物体的转动惯量 分质量系统 在垂直距离 从旋转轴出发 .
质量的惯性矩加起来就像一个标量。
避免这种缺陷:
还应注意的是,粒子系绕一个轴的转动惯量为不和转动惯量是一样的质量中心粒子系统中关于同一轴的。
求由六个质量相等的质点组成的质点系统的转动惯量 放置在正六边形的边角上的 关于一个通过六边形中心并垂直于六边形平面的轴。求质量的惯性矩 置于上述系统的质量中心。
根据公式,转动惯量为 .这里所有的质量都是一样的 为 .同样,在一个正六边形中,所有的角到中心的距离是相同的,等于六边形的边长。因此, 为 .因此,
连续质量分布惯性矩:
一个连续的质量系统可以被认为是无限质量粒子的集合。一个更大的物体可以分解成无限小的元素质点。总转动惯量将是所有这些粒子的总和。积分有助于把所有这些粒子的转动惯量相加。
因此,分布质量系统的转动惯量可表示为
在哪里 为转动惯量, 物体上是否考虑小元素的质量 为元素质量到轴的距离。
计算一个均匀的,直的质量杆的惯性矩 和长度 一个轴穿过它的一端。
假设一个元素粒子存在于 的长度 从轴。现在我们知道总质量 目前的长度是多少 也就是宽度粒子的质量 将 .然后我们可以简单地积分如下:
我们现在知道,一个物体在不同的轴上有不同的转动惯量。那么,这些惯性矩之间有什么关系吗?是的,关于几个轴的转动惯量可以通过两个定理得到:
- 垂直轴定理
- 平行轴定理。
系统的惯性矩与动能的关系
对于有质量的粒子 在远处 从轴上看,线速度是 .因此动能 质点的运动
总动能 物体的能量由单个粒子的动能之和给出(假设存在) 粒子)。因此,我们有
自 是角速度对所有粒子都是常数,我们可以把它从求和中拿出来
因为我们定义转动惯量为 我们有这个关系
垂直轴定理
对于平面物体,垂直于该平面的轴的转动惯量等于物体平面上同一点的两个垂直轴的转动惯量之和:
避免这种缺陷:
垂直轴定理只适用于平面物体,如薄圆盘、环、三角板等。对于球、柱、锥等物体,这个定理不能应用。
假设有一个椎板 飞机。的 轴通过的交点 - - - -轴,垂直于薄层平面:
如果我们在质量板上取任意一点 在协调 关于的转动惯量 -axis可计算为
同样的,
关于的转动惯量 -轴,则距离为 设在是 然后
添加 和 和使用 我们得到了
为了了解第二定理,即平行轴定理,我们首先需要了解质心的概念。
质心-加速度
系统的重心是一个非常特殊的点。就是那个加速度只取决于外力的点。对于质点系统,质心的加速度等于净外力除以系统总质量:
考虑下面所示的图表。一块质量块 受到一种力的作用 在水平方向上。如果地面是光滑的,那么质心的加速度是多少?
我们有
在这里,
因此,
点集合的质心
也可以求出实际的质心,一组点的质心。
假设我们有 粒子的质量 在各自的坐标处
然后, 质心的坐标为
类似地, 质心的坐标为
同样, 质心的坐标为
求两质点质量系统的质心的距离 和 从质量 ,假设两个物体之间的距离是
在下面的图中,让质量 在原点,和质量 在协调
然后,
和
因此,质心到 是
注意:质心到 是
质量分布中心
连续质量分布包含无限个点质量粒子。在积分的帮助下,可以为这样一个粒子系统定义质心。首先,将系统分解成无穷大的小质点,然后积分得到质心的位置。
连续质量分布的质心位置可计算为
在哪里 是基本粒子的质量, 是 基本粒子的坐标 是 质心的坐标。
同样的,
平行轴定理
平行轴定理州刚体的转动惯量对任何轴等于它的转动惯量对平行轴通过其质心+产品质量的身体和的平方两平行轴之间的垂直距离。
如果一个物体有转动惯量 关于通过质心的轴,然后是转动惯量 与另一个平行轴的距离 将