角运动学
角运动学是研究在没有力的情况下旋转运动的学科。角运动学方程与通常的方程极为相似运动学例如,位移用角位移代替,速度用角速度代替。正如运动学通常用来描述几乎任何线性运动的物理系统的轨迹一样,角运动学方程也适用于大多数旋转的物理系统。
角运动学基本方程
在纯旋转(圆周)运动中,角运动学方程为:
切向速度 描述一个物体在角频率下的旋转运动中与它的路径相切的速度 和半径 .这是一个物体,如果它突然停止转动,沿直线运动,它所遵循的速度。这个速度的变化率就是切向加速度 .向心加速度 是旋转物体所经历的第二个加速度,因为改变速度矢量的方向需要一个加速度。由于速度矢量的方向在旋转运动中不断改变,旋转的物体必须通过提供向心加速度的力不断地朝着旋转轴加速。
由上面的方程,通常的运动方程有角的形式。如果一个物体经历恒定的角加速度 时,总角位移为:
在哪里 初始角度是和吗 为初始角速度。同理,角速度的变化是:
用角位移来表示,或者
在时间方面。
虽然上面的推导正确地给出了角量的大小,但它并没有抓住角量是正确的这一事实也向量.角速度点的方向可以从右手法则中找到:沿着旋转的方向弯曲你右手的手指,你的拇指指向角速度矢量的方向,沿着旋转轴。根据定义,这是正确的;虽然这看起来很奇怪,因为矢量垂直于旋转,但这个定义是唯一的方法来建立一个一致的旋转力矢量理论。
角运动学方程的推导
在旋转参考系中,它通常使用起来更方便极坐标笛卡尔坐标。类似地,对于向量,用径向和切向向量 和 代替一般的笛卡尔基向量 和 .一个对象的径向向量被定义为总是指向该对象:
请注意, 和 径向向量的分量就是通常的极坐标,归一化。同样的,切向量 的定义,使其始终与径向矢量正交并与径向矢量所在的圆相切:
表明, 和 ,点表示时间导数。
解决方案:
注意在笛卡尔坐标系中,基向量的导数 , 等总是消失的,因为这些基向量是固定的。然而,极基向量在时间上旋转,所以它们总是沿着某一轨迹径向和切向指向。用链式法则计算上述定义的导数:
声称。
根据上面的定义,所有的角运动学定律都可以直接推导出来。设指向某旋转物体的矢量为 在极坐标下 是到原点距离的大小。则物体的速度为:
如上图所示,速度有两个分量。第一项, ,描述了物体离原点的径向速度。第二项是切向速度。表示 随着角速度,切向速度就是 .
取另一阶导数可以确定对物体加速度有贡献的不同项:
径向条款 和 描述了径向加速度从原点向外而来向心加速度分别朝向原点。切向项是切向加速度 ,在那里 是角加速度, ,科里奥利加速度.
值得注意的是,这个推导证明了在没有任何力的情况下,一个物体以角速度作圆周运动 必须以向心加速度径向向内加速 鉴于以上。
物理学中的旋转系统
物理学中无数的旋转系统都可以用角运动学定律来分析;下面的例子将对其中一些进行探讨。
大多数孩子都知道,如果你快速旋转一个装着球的管子,这个球就会以极高的速度“弹射”出管子的末端。同样的效果在旋转一根周围有珠子的棒子和许多其他物理场景中也是可见的。如果管/杆以恒定角速度旋转,球/珠的速度增加了多少 吗?
解决方案:
由于在球/珠上没有径向力,根据牛顿第二定律,总的径向加速度为零。在极坐标下,这意味着:
这个微分方程 解决:
对于一些常量 和 取决于初始条件。如果球/珠从静止的半径开始 ,这些常量被固定为:
因此,通过微分得到球/珠的速度解为:
球/珠的速度呈指数增长,因为第二项很快就衰减为零。
一颗珠子卡在一个以恒定速度滚动而不滑动的轮子里 .显示珠的轨迹在实验室框架的摆线。
解决方案:
在车轮参照系中,胎面作匀速圆周运动。如果车轮有半径 ,珠带有相对于车轮中心的坐标和速度:
在实验室参考系中,车轮的中心随着速度移动 ,所以它位于:
记住,车轮的中心是一个高度 离地面。因此,珠在实验室框架中的位置为:
现在,如果车轮顺时针(即,向右)滚动而不滑动,珠子的移动角度是:
假设珠子从 .所以珠子的位置是:
下图是上图位置的示意图 为了验证它确实是摆线:
:
地球自转的事实意味着地球表面的每一个地方都是一个旋转的参照系。这有可观察到的科里奥利加速度的影响,最明显的是在一个足够大的钟摆的旋转轴的进动。这种实验装置通常称为傅科摆.
推导傅科摆的进动假设地球以角频率旋转 .
解决方案:
旋进是由于钟摆摆动的平面随着地球的自转而旋转。然而,在高纬度地区 在赤道,这种旋进比赤道慢。在二维空间中,科里奥利加速度为:
钟摆在某一频率上的微小摆动 服从胡克定律.利用这个事实牛顿第二定律给出下列运动方程:
复坐标的解 可以用矩阵ODE方法得到:
对于一些常量 和 由初始条件决定。的主要因数 描述了 坐标为随时间旋转。自 ,钟摆的轴就这样在 飞机与频率 .自 在一天的时间里,钟摆以一个角度进动 .
参考文献
D. Kleppner和R. Kolenkow,机械学简介.麦格劳-希尔,1973年。
[2]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Coriolis_force#/media/File:Corioliskraftanimation.gif,在Creative Commons许可下进行修改和重用。
[3]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Foucault_pendulum#/media/File:Foucault-rotz.gif,在Creative Commons许可下进行修改和重用。