这个符号不是标准的数学符号,而是金融行业中使用的标准形式。gydF4y2Ba
- 什么叫gydF4y2Ba正态分布gydF4y2Ba不是正态分布;相反,它是对数正态分布的累积分布函数。假设使用了均值为0,标准差为1的基本正态分布,但很少提及。gydF4y2Ba
- 使用对数正态分布是因为复利是幂律,它被建模。取生长因子的对数使生长因子接近线性,分布接近正态分布。的价值gydF4y2Ba
米gydF4y2BaugydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
σgydF4y2Ba是一个时间段的预期增长因子(利率)和预期标准差(波动率)。因此,值gydF4y2Ba关闭gydF4y2Ba期望到0。gydF4y2Ba
- 连续函数用于离散函数的建模,以简化无预警的计算,例如红利和利息连续计算,而不是周期性计算。事实是gydF4y2Ba不gydF4y2Ba讨论中提到过。数学家也这样做,但他们通常只提到实践。gydF4y2Ba
- 被建模的是一个随机的一维行走或鞅。由于二项分布对大量试验的正态分布建模,例如一年时间内的价格变化,因此对正态分布的建模是一个合理的近似。gydF4y2Ba
对数函数的使用要求参数为正实数,以避免无穷大和复数:gydF4y2Ba
对数正态分布gydF4y2Ba[gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba]gydF4y2Ba=gydF4y2Ba改变分布gydF4y2Ba[gydF4y2Ba经验值gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaxgydF4y2Ba≈gydF4y2Ba正态分布gydF4y2Ba[gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba]gydF4y2Ba]gydF4y2Ba
PDFgydF4y2Ba[gydF4y2BaNormalDistributiongydF4y2Ba[gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba]gydF4y2Ba]gydF4y2Ba⇒gydF4y2BaxgydF4y2Ba→gydF4y2Ba2gydF4y2BaπgydF4y2Ba
σgydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2BaμgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba
PDFgydF4y2Ba[gydF4y2BaLogNormalDistributiongydF4y2Ba[gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba]gydF4y2Ba]gydF4y2Ba⇒gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba→gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba2gydF4y2BaπgydF4y2Ba
σgydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaμgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba0gydF4y2BaxgydF4y2Ba>gydF4y2Ba0gydF4y2Ba真正的gydF4y2Ba
的意思是gydF4y2Ba[gydF4y2BaLogNormalDistributiongydF4y2Ba[gydF4y2BaμgydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2BatgydF4y2Ba]gydF4y2Ba]gydF4y2Ba=gydF4y2Ba期望gydF4y2Ba[gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BaxgydF4y2Ba∼gydF4y2Ba∼gydF4y2BaLogNormalDistributiongydF4y2Ba[gydF4y2BaμgydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2BatgydF4y2Ba]gydF4y2Ba]gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2Ba2gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2BatgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaμgydF4y2BatgydF4y2Ba
使用来自gydF4y2BaWolfram Mathematica 12期望文档gydF4y2Ba:gydF4y2Ba
expectedPricegydF4y2Ba[gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba]gydF4y2Ba=gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba×gydF4y2Ba的意思是gydF4y2Ba[gydF4y2BaLognormalDistributiongydF4y2Ba[gydF4y2BaμgydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2BatgydF4y2Ba]gydF4y2Ba]gydF4y2Ba⇒gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba×gydF4y2BaegydF4y2BaμgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2BatgydF4y2Ba
“假设投资者可以把钱投资于股息率高的股票gydF4y2Ba
问gydF4y2Ba以连续的年复利计算一年gydF4y2Ba
rgydF4y2Ba无风险,风险中性定价条件要求:gydF4y2Ba
与gydF4y2Ba
currentPricegydF4y2Ba方程两边都要考虑无风险利率导致的价值增长减去股息收益率的有效利率,假设这两个利率都是连续复利的:gydF4y2Ba
expectedPricegydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BargydF4y2Ba−gydF4y2Ba问gydF4y2BaexpectedPricegydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba
egydF4y2BaμgydF4y2Ba(gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba问gydF4y2Ba+gydF4y2BargydF4y2Ba+gydF4y2BaμgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2BatgydF4y2Ba
解gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba总的来说,时间是正的gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba问gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BargydF4y2Ba−gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
“考虑购买一年后以固定价格购买这只股票的看涨期权gydF4y2Ba
KgydF4y2Ba.这种期权的价值是:gydF4y2Ba
callOptValgydF4y2Ba(gydF4y2BaexpectedPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba马克斯gydF4y2Ba(gydF4y2Ba(gydF4y2BaexpectedPricegydF4y2Ba−gydF4y2BaKgydF4y2Ba,gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba
这是因为如果不能立即获利,看涨期权就毫无价值。gydF4y2Ba
[C]考虑一个看跌期权,在一年后以固定价格出售这只股票gydF4y2Ba
KgydF4y2Ba.这种期权的价值是:gydF4y2Ba
putOptValgydF4y2Ba(gydF4y2BaexpectedPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba马克斯gydF4y2Ba(gydF4y2BaKgydF4y2Ba−gydF4y2BaexpectedPricegydF4y2Ba,gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba
这是因为如果不能立即获利,看跌期权就毫无价值。gydF4y2Ba
下式中,所有参数均为正实数,gydF4y2Ba
μgydF4y2Ba与上面计算的一样,分布与上面的Mean函数的参数一样:gydF4y2Ba
看涨期权价格为gydF4y2Ba
egydF4y2Ba−gydF4y2BargydF4y2BatgydF4y2Ba期望gydF4y2Ba[gydF4y2BacallOptValgydF4y2Ba(gydF4y2BafgydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba]gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba∼gydF4y2Ba∼gydF4y2BaLognormalDistributiongydF4y2Ba(gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba]gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
看跌期权价格为gydF4y2Ba
egydF4y2Ba−gydF4y2BargydF4y2BatgydF4y2Ba期望gydF4y2Ba[gydF4y2BaputOptValgydF4y2Ba(gydF4y2BafgydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba]gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba∼gydF4y2Ba∼gydF4y2BaLognormalDistributiongydF4y2Ba(gydF4y2BaμgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba]gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
BlackScholesCallOptionPricegydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba,gydF4y2BargydF4y2Ba,gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2BargydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba×gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2BargydF4y2Ba−gydF4y2Ba问gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2Ba小块土地gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba
σgydF4y2BatgydF4y2Ba
−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaKgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba问gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BargydF4y2Ba+gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaKgydF4y2Ba误差补函数gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba
σgydF4y2BatgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaKgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba问gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2BargydF4y2Ba+gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba
BlackScholesCallOptionPricegydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba,gydF4y2BaKgydF4y2Ba,gydF4y2BargydF4y2Ba,gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2BargydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2BaKgydF4y2Ba小块土地gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba
σgydF4y2BatgydF4y2Ba
tgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba问gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2BargydF4y2Ba+gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2BaKgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba×gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2BargydF4y2Ba−gydF4y2Ba问gydF4y2Ba)gydF4y2Ba误差补函数gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2Ba
σgydF4y2BatgydF4y2Ba
−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaKgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba问gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BargydF4y2Ba+gydF4y2BaσgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2Ba日志ydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BacurrentPricegydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BaKgydF4y2Ba)gydF4y2Ba
这个函数gydF4y2Ba
小块土地gydF4y2Ba(gydF4y2BazgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaπgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba0gydF4y2BazgydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2BatgydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
误差补函数gydF4y2Ba(gydF4y2BazgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba−gydF4y2Ba小块土地gydF4y2Ba(gydF4y2BazgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.两个函数都假设均值为0,标准差为1的正态分布。这意味着参数必须标准化为一个平均值为0和一个标准偏差为1,这已经在上面的调用和选项值公式中完成了。gydF4y2Ba
提供gydF4y2Ba[gydF4y2BaNormalDistributiongydF4y2Ba[gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]gydF4y2Ba,gydF4y2BaxgydF4y2Ba]gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba误差补函数gydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba
误差补函数gydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2BazgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba+gydF4y2Ba小块土地gydF4y2Ba(gydF4y2BazgydF4y2Ba)gydF4y2Ba