标准偏差

的标准偏差的概率分布，就像方差在概率分布中，是在该概率分布中的偏差的测量。它允许人们量化概率实验的结果往往不同期望值．

标准偏差通常用于计算的计算统计数据如那个 $z$-分数和变异系数．

随机变量的标准偏差 $X$,表示 $\σ$或者 $\σ(X)$，被定义为方差的平方根。

随机变量的标准偏差 $X$是

$(X) =√{Var}[X]}。$

同样,标准偏差随机变量 $X$是

$大概{\σ= \ \σ^ 2}。$

一个公平的六面骰的标准差是多少?

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让 $X$是表示公平六面模辊的结果的随机变量。

回想一下另一个例子那 ${Var} [X] = \ \文本dfrac {35} {12}$．然后，

$大概{\σ(X) = \ \ dfrac{35}{12}} \约1.708。\ _ \广场$

由方差的属性，标准差有以下性质:

为随机变量 $X$和任意常数 $c$,我们有

$∑(cX) = lvert c \rvert \big(∑(X) \big)$

为随机变量 $X$和任意常数 $c$,我们有

$\ sigma（x + c）= \ sigma（x）。$

让 $X_1 X_2 l导xk$是成对独立的随机变量。然后

$\ sigma（x_1 + x_2 + \ ldots + x_k）= \ sqrt {\ text {var}（x_1）+ \ text {var}（x_2）+ \ cdots + \ text {var}（x_k）}。$

随机变量的差异和标准偏差直观地测量随机变量的差距量或从平均值的分散。这允许我们接近以下问题：随机变量的值远远距离其预期值是什么？

在下面的例子中，我们将使用下面的方法来证明一般随机变量的概率边界Chebyshev的不平等．在随机变量的特殊情况下 $X$与一个正态分布(或高斯分布) $n（\ mu，\ sigma）$，我们有以下几点:

$\begin{aligned} P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) &约0.6826 \\ P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) &约0.9544 \\ P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) &约0.9972。结束\{对齐}$

如果我们考虑概率密度函数 $X$，这表明间隔曲线下的区域 $(mu -， mu +)$大约是 $0.6826$，即区间内曲线下面积 $(mu - 2, mu + 2)$大约是 $0.9544$和间隔中曲线下的区域 $(mu - 3, mu + 3)$大约是 $0.9972$．这些概率，由正态分布曲线下的面积推导而来，无论值是多少都成立 $\μ$或者 $\σ$．

对于随机变量 $z$-分数,或标准化分数，值是标准偏差的数量，该值来自数据的平均值。

让 $X$是随机变量。如果 $\μ$是预期的价值 $X$， $\σ$的标准差是 $X$， 和 $x$是一个值 $X$能拿，然后呢 $z$-分数的 $x$是

$z = \压裂{x - \μ}{\σ}。$

这就给出了这个值相对于平均值的距离。如果一个点的值小于期望值，则 $z$分数是负的。如果点的值大于期望值，则 $z$分数是正的。

在研究随机变量的扩散时，我们可能要考虑到期望值的大小。的变异系数为标准差与期望值之比:

$简历(X) = \压裂{\σ}{\μ}。$

变异系数是对概率分布中相对于期望值的偏差量的测量。

证明马尔可夫不等式:对任意非负随机变量 $X$和积极的常数 $一个$，

$P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}。$

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考虑事件 $A = {s: X(s) \geq A \}$．然后

$\{对齐}开始E [X] & = \ sum_s P (s) X (s) \ \ & = \ sum_ s在}\ P {(s) X (s) + \ sum_{年代\ \在}X (s P (s) ) \\ & = \ sum_在}{年代\ P (s) X (s) \ \ & \组\ sum_在}{年代\ P (s) X (s) \ qquad自}{X (s)(\文本\组0 \文本所有}{年代)\ \ & \组\ sum_ s在}\ P {(s) \ qquad自}{X (s)(\文本\组\文本中所有}{年代\)\ \ & = P (A)。结束\{对齐}$

因此, $e [x] \ geq a p（x \ geq a）$，暗示 $p（x \ geq a）\ leq \ frac {e [x]} {a}。$ $_ \广场$

现在我们考虑一般随机变量的边界(不一定是非负的)。

证明切比雪夫不等式:对于随机变量 $X$与的意思 $\μ$和标准偏差 $\σ$并且对于任何正常的常数 $一种，$

$P \大(lvert X - mu \rvert \geq a \sigma \big) leq \frac{1}{a^2}。$

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考虑随机变量 $(X - \μ)^ 2$．这是一个非负的随机变量，所以我们可以用马尔可夫不等式来得到

$\ P{对齐}开始\大((X - \μ)\ \σ\大组)& = P \大((X - \μ)^ 2 \组^ 2 \σ^ 2 \大)\ \ \ \ & \ leq \压裂{E大\ [(X - \μ)^ 2大\]}{^ 2 \σ^ 2 } \\\\ &= \ 压裂{\σ^ 2}{^ 2 \σ^ 2 }\\\\ &= \ 压裂{1}{2 ^}。结束\{对齐}$

因此,

$P \大(lvert X - mu \rvert \geq a \sigma \big) leq \frac{1}{a^2}。\ _ \广场$