三维坐标几何-距离gydF4y2Ba

在三维几何中gydF4y2Ba距离gydF4y2Ba两个物体之间的长度最短gydF4y2Ba线段gydF4y2Ba连接;这类似于gydF4y2Ba二维的定义gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

在三维空间中，点是用它们沿gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$－，gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$- - - - - -,gydF4y2Ba $zgydF4y2Ba$-坐标轴，它们是gydF4y2Ba垂直的gydF4y2Ba另一个;这类似于gydF4y2Ba二维几何坐标gydF4y2Ba一种解释，其中每个点只用两个坐标表示gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$- - -gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$相互重合)。gydF4y2Ba

dkgydF4y2Ba

在上图中，目标是求出到该点的距离gydF4y2Ba $\离开(间的{1},y_ {1}, z_{1} \右)gydF4y2Ba$重要的是gydF4y2Ba $\离开(间的{2},y_ {2}, z_{2} \右)。gydF4y2Ba$从gydF4y2Ba距离公式gydF4y2Ba在二维空间中，黄线的长度是gydF4y2Ba

$\√6 {{({x} _ {2} - {x} _ {1})} ^ {2} + {({y} _ {2} {- y} _{1})} ^{2}}。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$是距离点的距离gydF4y2Ba $\离开(间的{1},y_ {1}, z_{1} \右)gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $\离开(间的{2},y_ {2}, z_{2} \右)gydF4y2Ba$(红线和期望的距离)。然后,使用gydF4y2Ba勾股定理gydF4y2Ba，gydF4y2Ba

$开始\{对齐}{d} ^{2}左& = \ \√{{({x} _ {2} - {x} _ {1})} ^ {2} + ({{y} _ {2} - {y} _{1})} ^{2}} \右)^ {2}+ {{z} _ {2} - {z} _ {1})} ^ {2} \ \ \ Rightarrow d = \√6 {{({x} _ {2} - {x} _ {1})} ^ {2} + ({{y} _ {2} - {y} _ {1})} ^ {2} + {{z} _ {2} - {z} _{1})} ^{2}}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

上式是三维空间中距离公式的一般形式。一个特殊的情况是当初始点在原点时，它将距离公式简化为这样的形式gydF4y2Ba

$d = \√6 {{{x}} ^ {2} + {{y}} ^ {2} + {{z}} ^ {2}},gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $(x, y, z)gydF4y2Ba$是终点。这个方程扩展了gydF4y2Ba距离公式gydF4y2Ba3 d空间。gydF4y2Ba

求两点之间的距离gydF4y2Ba $(2、5、7)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $(3、4、5)。gydF4y2Ba$

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根据距离公式，我们有gydF4y2Ba

$\开始{对齐}d = \ sqrt{{(3 - 2)} ^{2} + \大({4 -(5)\大)}^ {2}+ {(5 - 7)}^ {2 } } \\ &=\ √6 {1 + 81 + 4}\ \ & = \ sqrt{86}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

这个点有多远gydF4y2Ba $P =(3、4、5)gydF4y2Ba$从原点?gydF4y2Ba

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因为第二点是原点，或者gydF4y2Ba $(0, 0, 0)gydF4y2Ba$，距离为gydF4y2Ba

$d = \√6{3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2}= 5 \√{2}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

如果两点之间的距离gydF4y2Ba $(2 0 3)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $(4个1)gydF4y2Ba$是8，它的值是多少gydF4y2Ba $一个吗?gydF4y2Ba$

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根据距离公式，gydF4y2Ba

$大概{\开始{对齐}d = \ \大(2 -(4)\大)^ 2 + (0 a) ^ 2 + \大(3 -(1)\大)^ 2}\ \ & = \ sqrt {36 + ^ 2 + 16} \ \ & = \ sqrt{52 + ^ 2} \ \ & = 8。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

因此,gydF4y2Ba

$\{对齐}开始52 + 2 ^ & = 8 ^ 2 \ \ & = 64 \ \一个= \ pm2 \ sqrt{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

确定点与平面之间的距离的策略与确定gydF4y2Ba点与直线之间的距离gydF4y2Ba．考虑一个由方程定义的平面gydF4y2Ba

$Ax + by + cz + d = 0gydF4y2Ba$

和一个点gydF4y2Ba $(x_0, y_0 z_0)gydF4y2Ba$在太空中。然后正常gydF4y2Ba向量gydF4y2Ba这个平面是gydF4y2Ba

$\ mathbf {v} = {pmatrix}开始\ \ \ b \ \ c \结束{pmatrix}gydF4y2Ba$

从平面上任意一点出发的向量gydF4y2Ba $(x, y, z)gydF4y2Ba$重点是gydF4y2Ba

$\ mathbf {w} = {pmatrix} x_0-x开始\ \ \ y_0-y \ \ z_0-z \ {pmatrix}结束。gydF4y2Ba$

从点到平面的距离是gydF4y2Ba投影gydF4y2Ba从gydF4y2Ba $w \ mathbf {}gydF4y2Ba$到gydF4y2Ba $v \ mathbf {}gydF4y2Ba$,或gydF4y2Ba

${对齐}D & = | \ \开始文本{项目}_ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w }| \\ &= \ 压裂{| \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w} |} {| \ mathbf {v }|} \\ &= \ 压裂{| (x_0-x) + b (y_0-y) + c (z_0-z) |}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2 }} \\ &= \ 压裂{| ax_0 + by_0 + cz_0 - (ax + by + cz) |}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2 }} \\ &= \ 压裂{| ax_0 + by_0 + cz_0 + d |}{\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

确定两条斜线之间距离的策略是找到两个平行平面通过每条斜线;这是因为两个平面之间的距离很容易用向量来计算gydF4y2Ba投影gydF4y2Ba．此外,正常的gydF4y2Ba向量gydF4y2Ba这两个平面的距离可以用gydF4y2Ba叉积gydF4y2Ba表示这两条直线方向的向量。gydF4y2Ba

特别地，假设这两条直线沿相同的方向运动gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ mathbf {v} & = {pmatrix} x_1&y_1&z_1 \ \开始结束{pmatrix} \ \ \ mathbf {w} & = {pmatrix} x_2&y_2&z_2开始\ \ {pmatrix}结束,结束\{对齐}gydF4y2Ba$

那么平面的法线可以计算为gydF4y2Ba

$v \ mathbf {n} = \ mathbf {} \ * \ mathbf {w} ={侦破}\文本\开始{pmatrix} \{我}和{j} \帽子帽子帽子& \ {k} \ \ x_1&y_1&z_1 \ \ x_2&y_2&z_2 \ {pmatrix}结束gydF4y2Ba$

两个平面之间的距离——也就是两条线之间的距离——可以通过投影计算出来gydF4y2Ba $\ mathbf {n}gydF4y2Ba$到gydF4y2Ba $魁人党gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$分别是第一行和第二行上的点。gydF4y2Ba

求直线之间的距离gydF4y2Ba

$\压裂{x + 2}{2} = \压裂{y-1}{3} = \压裂{z}{1}{和}\四\ \四\文本压裂{3}{1}= \压裂{y}{1} = \压裂{z + 1}{2}。gydF4y2Ba$

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按照上面的策略，第一行朝这个方向移动gydF4y2Ba

$\ mathbf {v} = {pmatrix} \开始2 3 1 \ {pmatrix}结束gydF4y2Ba$

第二个是方向上的gydF4y2Ba

$w \ mathbf {} = {pmatrix} 1 1 2 \ \开始{pmatrix}结束。gydF4y2Ba$

然后gydF4y2Ba

$v \ mathbf {n} = \ mathbf {} \ * \ mathbf {w} ={侦破}\文本\开始{pmatrix} \{我}和{j} \帽子帽子帽子& \ {k} \ \ 2 3 1 \ \ 1 1 2 \结束{pmatrix} = {pmatrix} \开始5 &-5&5 \ {pmatrix}结束。gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $(2, 1, 0)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $(0,1)gydF4y2Ba$这两条直线上的点分别是向量吗gydF4y2Ba $魁人党gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $结束\ {pmatrix}开始5 &-1&-1 \ {pmatrix}gydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba

$D =大| \ \文字{项目}_ {\ mathbf {n}} PQ \大| = \压裂{\大| \ mathbf {n} \ cdot PQ \大|}{| \ mathbf {n} |} = \压裂{25}{5 \√{3}}= \压裂{5 \√{3}}{3}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

• 距离公式gydF4y2Ba
• 向量gydF4y2Ba