距离公式
的距离公式是一个用来求两点间距离的公式。这些点可以在任何维度。例如,您可能想求直线上两点(1d)、平面上两点(2d)或空间上两点(3d)之间的距离。
内容
一维距离
假设 和 两个点在实数线上。然后距离之间的 和 是
在飞机上,我们可以考虑 坐标轴是一维的数轴,所以我们可以计算任意两点之间的距离 -轴作为它们的差的绝对值 坐标。同样的,直线上任意两点之间的距离 -axis是它们差的绝对值 坐标。
现在,考虑一下 飞机,假设 和 其中有两点。那么距离 和 是
自 两者之间的距离是 这两点的坐标 两者之间的距离是 这两点的坐标,公式中的距离 -平面可以被认为是带顶点的直角三角形的斜边的长度 , 和 .那么距离公式就是勾股定理的简单表述。
在一维和二维中,距离函数都满足以下性质:
- 对所有点 当且仅当
- 对所有点
- 对所有点 .
两点之间的距离是多少 和 ?
注意这两个点都在 -轴,因此点之间的距离是差的绝对值 坐标,
概括以上问题,有两点 和 有相同的 协调,即。 ,则两点间的距离为 这条线段 是一条垂直线。
类似地,如果 和 有相同的 坐标( ),然后 这条线段 是一条水平线段。
求矩形的面积 飞机与顶点
点 和 有相同的 协调,这意味着 .点 和 有相同的 协调,这意味着 .我们检查这些点 和 有相同的 协调和 和 有相同的 -坐标,意味着这些点确实是矩形的顶点。
矩形的面积是
二维距离
两点之间的距离 和 可以通过下列公式得到:
构造一个三角形 在哪里 有坐标 .
然后 是一个直角三角形,我们可以应用勾股定理得到
自 是要找到的吗 和 我们有
从这个证明我们可以得出如下推论:
点的距离 从原点 是由
这两点之间的距离是多少 和
的距离是
求所有的和 使得点之间的距离 和 是 .
利用上面的公式,我们得到
两边同时平方,然后化简,得到
的可能值的和 是
求两点之间的距离 和 .
我们有
求点的距离 从原点。
我们有
通过连接图点来识别图形
有时我们被给予四个点,并被要求评论由它们组成的四边形的性质。为此,我们必须回顾以下几点:
四边形是A
- 矩形,如果其对边相等且对角线相等;
- 正方形,如果它的所有边相等且对角线相等;
- 平行四边形,如果它的对边相等;
- 菱形,如果它的两边相等。
证明这些点 是等腰直角三角形的顶点。同时求三角形的面积。
我们有
自 这个三角形是等腰三角形。
此外,由于 这是直角。现在,三角形的面积是
证明这些点 是矩形的顶点。同时求出矩形的面积。
我们有 这意味着 和 即。 是一个对边相等的四边形。
现在,既然我们有 这意味着 是一个对角线相等的四边形。
因此, 是一个矩形,它的面积是
给出平面上的四个点 形成一个菱形 这不是一个正方形。求菱形的面积。
我们有 这意味着 即。 不是菱形就是正方形。
现在,既然我们有 这意味着 是菱形,不是正方形。
菱形面积 是
其他的例子
用距离公式表示 共线。
我们有 所以 这意味着给定的点是共线的。
找到一个点上 -轴,它与这些点等距离 和 .
既然点就在 设在, 协调是 .让 成为要求的点 与给定点等距离的轴。然后,
因此,要点是