载体

大多数你可能熟悉的量都是用单个数字表示的: $\分形{\sqrt{2}}{3}$例如，15公斤，或25.63秒。这样的量被称为标量或者干脆标量．

然而，有些量同时具有a大小和方向因此需要两个或两个以上的数字才能完全指定。这种数量称为向量或向量． $^ \文本{[1]}$例如，当速度物体的运动速度就是它的运动速度 $文本(18 \ \{公里}/ {h} \文本),$物体的速度不仅反映了它的运动速度，还反映了它的运动方向 $（18\，\text{km}/\text{h}$西南 $）.$因此，速度是一个标量，而速度是一个矢量力,取代,电场．

许多重要的物理量和数学量都是向量，广义向量及其性质的分析（一门学科称为线性代数)构成现代数学核心的一部分。

在进一步讨论之前，我们首先需要知道向量是什么。

从数学上讲，有向线段称为直线段矢量.或者，换句话说，具有指定大小和方向的线段称为向量。

指定矢量的一种基本方法是简单地给出它的大小和方向 $($例如。， $5 \ \文字{米}$北或 $12$在 $45 ^ \保监会)$.但是，在某些情况下，这两个数量可能都不会立即显现。有时，在一个时间点上指定两个点比较容易起始点 $A.$和一个终点 $B$-并将向量表示为从一个方向到另一个方向的（定向）位移。

在笛卡尔平面上，可以 $A=（x_A，y_A）$和 $B=（x_B，y_B）$，在这种情况下，位移的水平部分为 $x_B - x_a$垂直部分是 $y_B-y_A$．一般来说，1表示一个向量 $\向量{V}$通过指示两个部分，也称为组件，以有序对的形式

$\vec{V}=（x_B-x_A，y_B-y_A），$

或者干脆

$\vec{V} = (v_x, v_y)$

具有 $v_x = x_B - x_A$和 $v_y=y_B-y_A$．

要区分向量和标量，通常要用箭头来写向量，如图所示（尽管这种表示法不是严格要求的）。

一般来说，一个人只对……感兴趣取代也就是说，只要每个分量是相同的，就不会区分初始点和终点不同的向量。具有相同分量的向量被认为相等或全等。(指示初始和结束点只是一种视觉和计算辅助。)

向量 $\向量{V}$有初始点 $=(1、2)$和终点 $B = (2)$.确定 $\向量{V}$．

答复

我们有

$vec {V} = \ \大(3 -(1)2 - 2 \大)=(4 0)。\ _ \广场$

这个大小,长或级通常取向量的欧几里德距离由毕达哥拉斯定理给出，写成 $|\vec{V}|$:

$vec {V} = \ \√6 {(x_B - x_A) ^ 2 + (y_B - y_A) ^ 2} = \√6 {v_x ^ 2 + v_y ^ 2}。$

方向通常表示为角度 $\西塔$关于正面 $x$-轴，由

$谭\{\θ}= \压裂{y_B - y_A} {x_B - x_A} = \压裂{v_y} {v_x}。$

一个向量 $\向量{V}$可以表示为 $6 \帽子{\ imath} + 8 \帽子{\ jmath}$.找出它的大小和相对于正方向的角度 $x$-轴心国。

答复

大小是

$\大|\vec{V}\Big}=\sqrt{V_x^2+V_y^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10，$

角度是

$\tan（\theta{\text{w.r.t.}x\text{-axis}}）=\dfrac{v\u y}{v\u x}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}意味着\theta{\text{w.r.t}x\text{-axis}=\tan 1}左（\dfrac 4}{3}）$

平面向量可以通过指示两个分量或给出大小和角度来指定。在这两种情况下，这两个值都足以提供关于矢量的所有信息，并在“分量”和“大小和角度”表示之间移动。(同样地，我们可以把“大小和角度”的表示简单地看作是平面上一点的坐标极坐标．)

在三维中，一个添加了第三个组件 $Z$-轴线：

$\vec{V} = (v_x, v_y, v_z)$

如果 $\vec{V} = (v_x, v_y, v_z)$是三维空间中的任意点，那么这个向量呢 $vec {OV} \$在原点 $O（0,0,0）$和 $\向量{V}$作为它的起始点和终点，分别称为位置矢量的 $\向量{V}$它的长度是

$\Big |\vec{V}\Big |=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}。$

向量 $\向量{V}$有初始点 $=(1、2、5)$和终点 $B=（3,2,2）$．求长度 $\向量{V}$．

答复

我们有

$\Big{124;\ vec{V}\Big}=\sqrt{\Big（3-（-1）Big）^2+（2-2）^2+（2-5）^2}=5.\\平方米$

人们可以用一个标量值乘以一个向量来“缩放”它。这种乘积 $\大的($在标量之间 $A.$和一个向量 $\vec{V}\big）$被编写为 $a\vec{V} = a(v_x, v_y, v_z)$定义为

$a\vec{V}=（avux，avuy，avuz）。$

这样的乘积仅仅是长度乘以一个因子 $A.$像

$\大{a\vec{V}\Big}=\sqrt{（avux）^2+（avuy）^2+（avuz）^2}=\sqrt{a^2\Big（V_x^2+vuy^2+vuz^2\Big）}=a\sqrt{V_x^2+vuy^2+vuz^2}=a\Big}。$

向量 $\向量V=（3,4,12）$．求长度 $3\vec V$．

答复

这可以通过两种方式实现：

• 第一种方法: $vec V \大| 3 \ \大| = \ | 3 \ *(3、4、12)\大| = \ |(9、12、36)\大| = \√6{9 ^ 2 + 12 36 ^ ^ 2 + 2}= 39。$

• 第二种方式： $vec V \大| 3 \ \大| = 3 \ | vec V \大| = 3 \ \ |(3、4、12)大| = 3 \ \√6{3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 12 ^ 2}= 3 \ * 13 = 39。$ $_\方格$

注:向量 $\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}，$哪里 $\vec{OA}、\vec{OB}$是点的位置向量吗 $A.$和 $B$分别地

以下是各种类型的向量:

• 零向量：初始点和终点相同的向量称为零向量 $大(vec{0} \ \ \大)$或零向量。它的大小是零，方向是不定的。

• 单位矢量:其大小为单位(1单位)的矢量称为A单位向量如果 $\向量{a}$任何向量，那么它的单位向量表示为 $\hat{a}$和的单位向量 $\向量{a}$是由 $\hat{a}=\dfrac{\vec{a}{{124;\ vec{a}}}$．

• 相等向量：两个向量 $\向量{a}$和 $\向量{b}$如果它们有相同的大小和方向，就称为相等。

• 矢量的负值:一个矢量的大小与给定矢量的大小相同，但方向相反，这个矢量称为该矢量的负值。如果 $\向量{a}$任何向量，它的负数表示为 $-\向量{a}$.此外，如果 $\向量{AB}$任何向量，那么它的负数是 $\向量{BA}$．永远记住, $\vec{AB}=-\vec{BA}$．

• 平行向量:当且仅当两个向量具有相同的支撑点或平行支撑点时，称它们为平行向量。换句话说，如果 $\向量{a}$和 $\向量{b}$那么，是任意两个平行向量吗 $\vec{a}=\alpha\vec{b}，$哪里 $\阿尔法$是一些标量常数。如果两个向量方向相同，则称为平行向量（或类似向量）；但如果两个向量方向相反，则称为反平行向量（或不同向量）。

• 共线向量：两个向量 $\向量{a}$和 $\向量{b}$如果它们具有相同的方向，平行或反平行，则称为共线。

• 共面向量:支撑在同一平面或平行于同一平面的向量称为共面向量。非共面向量称为非共面向量。

• 共初始向量：具有相同初始点的两个或多个向量称为共初始向量。

让 $A_1 a_2 a_3 cdots a_n$是向量和 $x_1、x_2、x_3、\cdot、x_n$是标量。那么向量 $x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3+\cdots+x_n$被称为线性组合向量的 $A_1 a_2 a_3 cdots a_n$．

• $2a-b+3c$是线性组合吗 $a、 b，c$．
• 当且仅当其中一个向量是另外两个向量的线性组合时，三个向量是共平面的。

• 向量加法

• 单位向量

• 点积

• 叉积

[1] 严格地说，在本文中，我们指的是几何的或欧几里得矢量．广义向量不一定是多维的。