数字e的发现

17 $^ \文本{th}$本世纪是一个快速变化的时代。这是一个科学革命、殖民主义泛滥、大众识字率上升、国际贸易激增的时代。欧洲的探索(和剥削)时代使世界上不同的文化相互接触、冲突和商业往来，其程度是以往任何一个大型帝国都无法企及的。商业规模的扩大增加了对资本的需求。货币借贷开始在个人、企业和国家的繁荣中发挥越来越大的作用。

鉴于金融在17个国家中日益增长的存在 $^ \文本{th}$世纪，历史学家认为，第一个计算的人 $e$很可能是银行家或交易员在探索复利的性质。

利息是贷款人向借款人收取的提供贷款服务的费用。利息费用抵消了贷款人无法对其资产进行任何其他操作的机会成本，而这些资产则由借款人控制。这些利息费用会随着时间累积，取决于利率借款人认为利息是拥有债务的成本，而贷款人认为利息是作为投资的贷款回报。

单利是指累计的利息总是与借款或投资的初始金额(这个初始金额称为本金)的相同比例。例如，如果你以每年5%的利率借了1美元，一年后，你将欠1.05美元。两年后你将欠1.10美元，以此类推。实际上，单利创造了一个等差数列债务或投资在所有时期都以相同的速度增长。单利很少见，通常只出现在短期贷款中。

复利是本金和先前利息的累积。每次将利率应用于总累积债务或投资时，就称为复利。如果你以5%的年复利投资1美元，第一年之后你会得到1.05美元。与单利不同的是，在第二年，它将增加1.05美元的5%，收益为1.1025美元。每年复利一次的一般复利方程是

$S=P（1+r）^{t}，$

在哪里 $年代$是累计债务或投资总额， $P$是校长, $r$利率是，和 $t$就是以年为单位流逝的时间。在复利的情况下，债务和投资以a的速度增长几何级数。

利息可以在给定的一年或利率期限内复利多次。例如，如果你把一美元存入一个银行账户，每年的复利为5%，那么你的账户每年将增长2.5%。对于每个利率周期内的多个复利区间，则得到复利公式

$S=P\left（1+\frac{r}{n}\right）^{nt}，$

在哪里 $n$是某一年复利的次数吗 $nt$因此，是其复利的总次数。

复利表

在给定的时间段内进行多次复利会使你的债务或投资增长得更频繁，但每次复利的利率都会更低。正如你所看到的，一个雄心勃勃的银行家不需要太多的想象力就可以想象，如果利率真的很高，并且尽可能多地进行复利，能赚多少钱（每日、每小时、无限期等）。如果更多的复利间隔使投资增长更频繁，那么更多的复利会导致投资增长更快吗？

历史学家认为，商人或银行家可能会比数学家们更早地想到这样一个实验:如果1美元在一年内以100%的利息投资，与一年只复利几次相比，经常复利会多赚多少钱?

这种特殊情况下的复利方程可以简化为

$左(1 + S = \ \压裂{1}{n} \右)^ {n}。$

结果是，每周复利的收益并不比每月复利多，而且价值更高 $n$，它越来越接近我们认识的数字 $e$。正如你所看到的，更频繁的复利在一定程度上确实会产生更多的钱，但很快就会达到一个上限，在这个上限上，更频繁的复利并不会产生更快的增长。数学家(以雅各布·伯努利为首，在1683年)后来继续定义 $e$随着限制

$(1+1/n \right)^{n}=e。$

具有 $n$到了无穷远的地方，无论时间间隔有多小，增长都会在每一个可能的瞬间持续发生。单利反映算术增长级数，复利反映离散几何增长级数，无限复利反映连续增长级数(指数级增长）.数量 $e$被认为是代表过程或数量增长的基础，这些过程或数量的增长与其当前数量成比例。这就是为什么 $e$经常出现在从细菌到放射性等一切事物的指数增长或衰退的建模中。

这里有一个问题要试一下。

• 欧拉