伸缩级数-和
一个伸缩式系列级数的每一项是什么 可以写成 对于某些系列 .这是代数的一个具有挑战性的子部分,要求求解者在一系列分数中寻找模式,并使用大量的逻辑思维。这些模式通常会导致大量的取消,使得问题可以手工解决。有些模式比其他模式更难找到。通常,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/partial-fractions/" class="wiki_link" title="部分分式" target="_blank">部分分式在这里使用的方式将在后面演示。
这样一个级数的好处是它允许我们很容易地把这些项加起来,因为
观察到大多数 这些项和其他括号中的对应项约掉了,因此我们只剩下 .这相当于一个可折叠的望远镜,长望远镜很容易缩回成一个小仪器,可以放进你的口袋里。
随着你的工作<一个href="//www.parkandroid.com/problems/telescoping-series-1-find-the-next-term/">阿伦的伸缩系列调查,你会意识到这个系列 和术语 ,我们有 自
因此,我们有了伸缩系列。这让我们得出这样的结论
特别是,因为 趋近于0时 变大了,我们得到这个
评估 .
我们可以把这个表达式写成 .
那么有一种方法可以让大部分的能量自我抵消,那就是
评估
将每个分数的分子和分母同时乘以分母的共轭。然后,例如,第一项化简为
如果你对每个连续的分数都这样做,你会得到 在分母上得到
就像望远镜一样,这一切都可以折叠,最后一个分数简化为 .因为这是 这就消去了,这个表达式等于
评估 .
对于这种类型的问题,你需要一些知识<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/partial-fractions-linear-factors/">部分分式.
重写 在表格中 .我们可以这样说
这是求值的简单方法 而且 就是代入一些简单的数。例如,让 .然后我们得到 ,所以 .如果我们让 ,则得到 ,所以 .部分分式分解得到了这个 .
现在,我们有 .这意味着我们有
注意一堆项是如何被抵消的,就像一个坍塌的望远镜。
这使得
让 的斐波那契数列 而且 对所有 .
证明 对所有 .
对所有 ,我们有
因此,我们有了伸缩系列。这让我们得出这样的结论