光谱定理

在线性代数，一个经常对此感兴趣规范的形式A.线性转换．鉴于特别好的基础为矢量空间其中一个工作中，线性变换的矩阵也可以特别好，揭示了一些关于转换如何在矢量空间上运行的信息。

这光谱定理为特定规范形式的存在提供一个充分的标准。具体地说，谱定理说明如果 $m$等于转置 $m$， 然后 $m$是对角线：存在可逆的矩阵 $C$这样 $C ^ {1} MC$是A.对角矩阵。回想一下，对角线矩阵是所有矩阵，其中来自主对角线的所有条目（从左上右侧到右下角的对角线）为零。

矩阵 $m$有条目 $\ mathbb {r}$叫做对称如果 $m = m ^ {t}$．这光谱定理指出任何对称矩阵是对角度的。

考虑矩阵

$A= begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}。$

这特征值这个矩阵是 $λ = 2， -1$，相应的特征向量 $v_1 = (1,0)$和 $v_2 =（-2,1）$．这些特征向量 $\ {v_1, v_2 \}$构成…的基础 $R \ mathbb {} ^ 2$，随着基矩阵的变化

$c = \ begin {pmatrix} 1＆-2 \\ 0＆1 \ END {PMATRIX}，$

发送标准基础矢量 $e_1 = (1,0)$到 $v_1.$和 $e_2 =（0,1）$到 $v_2.$．在基础上 $\ {v_1, v_2 \}$所描述的线性变换的矩阵 $一种$正是

$C^{-1} AC = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}。$

这个对角矩阵更容易解析 $一种$；一看就知道 $一种$行为 $R \ mathbb {} ^ 2$通过缩放两个轴，一个因子 $2$一个因素 $－1$（即反思）。

$一种$行为 $R \ mathbb {} ^ 2$通过沿着所描绘的两个轴缩放，线条 $Y = 0.$和 $Y = - \ FRAC X2$．

矩阵 $m$叫做对角化的如果存在线性变换的基础 $m$具有对角线矩阵，即矩阵，其条目从主对角线（从左上角到右下角的对角线）均为零。同等， $m$如果且仅在存在可逆矩阵时，是对角线化的 $C$这样 $C ^ { - 1} m c$是一个对角矩阵。可对角化的矩阵比不可对角化的矩阵更容易处理，因为它们可以在基底改变的情况下被置于这种标准对角形式中。

让我们通过证明以下有用的引理来开始：

引理:一个真实的特征值 $n \ times n$对称矩阵 $m$是真实的。

证明：
让 $\ lambda \ in \ mathbb {c}$是一个特征值 $m$具有相应的特征向量 $\ v \ in \ mathbb {c ^ n}$．现在我会表明这一点 $\ \ override {\lambda} = \lambda$通过评估 $\（mv）^ {t} \ overline {v}$有两种方式：

$\ begin {对齐} \（mv）^ {t} \ overline {v}＆= v ^ {t} m ^ {t} m ^ {t} m ^ {t} m ^ {v} \ overline {v} \\＆v ^ {t}（m \ overline {v\\＆= v ^ {t} \ big（\ ovline {m} \ ovline {v} \ big）\\＆= v ^ {t} \ big（\ ovline {mv} \ big）\\＆=V.^{T}\big(\overline{\lambda v}\big) \\ &= \overline{\lambda}v^{T}\overline{v} &\qquad (1) \\\\ (Mv)^{T} \overline{v} &= \lambda v^{T} \overline{v}. &\qquad (2) \end{aligned}$

比较方程（1）和（2），很明显 $\ \ overline {\ lambda} = \ lambda，$所以 $\ lambda \ in \ mathbb {r}。\ _ \ square$

票据证明

为了 $n = 1，$ $m$和 $V.$是标量，所以 $mv = lambda v，$在哪里 $m = \ lambda。$因此，我们可以选择任何非零真标 $V.$形成一个基础 $\ mathbb {r}。$

归因假设：
每一个 $\ k \ times k$对称矩阵是对角线性的 $k = 1，...，n-1。$所以,让 $m \在m_ {n}（\ mathbb {r}）$是对称的。我们将归纳部分打破到3个步骤：

• 步骤1:
  我们可以选择特征值 $\ lambda_ {1} \ in \ mathbb {r}$根据上面的引理(详见注释)，让我们标准化一个相应的特征向量 $v_{1}| = 1$．现在我们可以延伸到基础 $u_{1}， u_{2}，…, u_ {n}$为了 $\ mathbb {r ^ n}$并应用Gram-Schmidt程序以获得正常的基础 ${v_{1}， v_{2}，…, v_ {n}}$为了 $\ mathbb {r ^ n}$．

• 步骤2:
  定义 $P= [v_{1} v_{2} \ldots v_{n}]$．现在的列 $P.$是正常的，所以 $P.$是一个正交的矩阵。那是， $p ^ {t} = p ^ { - 1}$．另外，定义 $p ^{-1} mp = p ^{t} mp，$然后 $^ {t} = \ left（\ big（p ^ {t} m \ big）p \ rick）^ {t} = p ^ {t} \ big（p ^ {t} m \ big）^ {t} = p ^ {t} m ^ {t} p = p ^ {t} mp = a，$所以 $一种$是对称的。现在我们用它来展示如何 $一种$可以以块矩阵形式写入。因此，预先乘以标准基础载体 $\ mathbf {e_ {1}}$经过 $一种$给 $\ p ^ {t} ap \ mathbf {e_ {1}} = p ^ {t} a v_ {t} v_ {t} v_ {t} = lambda_ {1} p ^ {t} v_ {1} = \ lambda_ {1} [v_ {1}] _ {b} = \ lambda_ {1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \ end {bmatrix} _ {b}。$所以， $一种$有矩阵块形式 $开始{bmatrix} \ lambda_ {1} \ quad 0 \\ 0 \ quad c \ neg {bmatrix}，$在哪里 $c \在m_ {n-1}（\ mathbb {r}）$是对称的。

• 第3步：
  现在，通过归纳假设，存在对角线矩阵 $D.$和正交矩阵 $问：$这样 $d = q ^ { - 1} cq = q ^ {t} cq$．现在定义 $r = p \ begin {bmatrix} 1 \ quad 0 \\ 0 \ quad q \ neg {bmatrix}。$我们的目的就是要证明这一点 $R.$是正交的 $\ r ^ {t}先生$是斜的。第一部分， $开始\ {bmatrix} 1 \四\ \ 0 \四问\ {bmatrix}结束^ {1}= {bmatrix} \开始1 \四\ \ 0 \四问^ {1}\ {bmatrix}结束\意味着R ^ {1} = {bmatrix} \开始1 \四\ \ 0 \四问^ {1}\ P {bmatrix}结束^ {1}= {bmatrix} \开始1 \四\ \ 0 \四问^ {T} \ P {bmatrix}结束^ {T} = R ^ {T}。$最后， $R ^ {t} mr = \ begin {bmatrix} 1 \ quad 0 \\ 0 \ quad q ^ {t} \ neg {bmatrix} p ^ {t} mp \ begin {bmatrix} 1 \ quad 0 \\ 0 \Quad Q \ End {Bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ lambda_ {1} \ quad 0 \\ 0 \ quad d \ neg {bmatrix}。$所以存在一个正交矩阵 $R.$这样 $\ R ^ {T}$是对角线，这相当于说存在正常的基础 $\ mathbb {r ^ n}$由特征值组成 $M. \ _ \ Square$

（注意：证明尚未进行对等级审核，因此可能包含错误。）