谱定理
动机
考虑到矩阵
的特征值这个矩阵的 ,带有相应的特征向量 和 .这些特征向量 构成…的基础 ,用基变换矩阵
发送标准基向量 来 和 来 .在基础上 所描述的线性变换的矩阵 正是
这对角矩阵比较容易解析 ;一看就知道 作用于 通过缩放两个轴,一个乘以 一个乘以 (即反射)。
一个矩阵 被称为对角化的如果有一组基,其中描述的线性变换 有一个对角线矩阵,即一个矩阵的主对角线以外的元素(从左上到右下的对角线)都是零。同样, 可对角化的当且仅当存在可逆矩阵 这样 是一个对角矩阵。可对角化的矩阵比不可对角化的矩阵更容易处理,因为它们可以在基底改变的情况下被置于这种标准对角形式中。
谱定理的证明
让我们从证明以下有用的引理开始:
引理:实数的所有特征值 对称矩阵 是真实的。
证明:
让
的特征值
与相应的特征向量
.现在我来展示一下
通过评估
在两个方面:
通过比较式(1)和式(2),可以清楚地看到 所以
用归纳法证明
为 和 是标量,所以 在哪里 因此,我们可以选择任意非零实标量 形成…的基础
归纳假设:
每一个 对称矩阵可对角化为 所以,让 是对称的。我们将归纳部分分为3个步骤:
步骤1:
我们可以选择特征值 根据上面的引理(详见注释),让我们标准化一个相应的特征向量 .现在我们可以扩展到一个基底 为 并应用Gram-Schmidt方法得到一个标准正交基 为 .步骤2:
定义 .现在列 是正交的,所以 是一个正交矩阵。也就是说, .此外,定义 然后 所以 是对称的。现在我们用这个来演示 可以写成分块矩阵形式。先乘以标准基向量 通过 给了 所以, 有矩阵块形式吗 在哪里 是对称的。步骤3:
现在,根据归纳假设,存在一个对角矩阵 和正交矩阵 这样 .现在定义 我们的目的就是要证明这一点 是正交的, 是斜的。第一部分, 最后, 所以存在一个正交矩阵 这样 是对角线的,这等价于说存在一个标准正交基 由的特征值组成的(注意:证据尚未经过同行评审,所以可能会有错误。)