用矩阵求解线性系统

求解线性方程组是许多学科中遇到的一个常见问题。解决这些问题是如此重要，以至于解决它们的技术(替换，消除)在代数学习的早期就已经学会了。本维基将详细介绍消元法的基本技巧，并探讨更多可以从中获得的技巧线性代数．

一个方程组可以用几种不同的矩阵形式表示。一种方法是将系统实现为系统系数与变量列向量的矩阵乘法。这个方阵叫做系数矩阵因为它由方程组中变量的系数组成:

$文本\{产品矩阵:}\四\开始{数组}{c c c c c c c} 2 x和y & + + & 4和7 z & = & 4 \ \ 3 x & + & 3 y和z + & 2 & = & 8 \ \ 5 x和z + & 6 y & + & 3 & = & 0 \ \ \{数组}结束\ longrightarrow \离开[\开始{数组}{c c c} 2 & 4和7 \ \ 3和3 & 2 \ \ 5 & 6 & 3 \ \ \{数组}结束\]\离开[\{数组}{c}开始x \ \ \ \ \ \ \ z结束数组{}\右]= \离开[\{数组}{c}开始4 \ \ 8 \ \ 0 \结束数组{}\]。$

另一种表示称为增广矩阵通过将矩阵的列拼接在一起并用竖线分割而生成。系数矩阵放在竖条的左边，而每个方程右边的常数放在竖条的右边:

$文本{增广矩阵:}\ \四\四\开始{数组}{c c c c c c c} 2 x和y & + + & 4和7 z & = & 4 \ \ 3 x & + & 3 y和z + & 2 & = & 8 \ \ 5 x和z + & 6 y & + & 3 & = & 0 \ \ \{数组}结束\ longrightarrow \离开[\开始{数组}{c c c | c} 2 & 4 & 7 & 4 \ \ 3 & & 2 & 8 \ \ 5 & 6 & 3 & 0数组{}\ \端)。$

表示这些系统的矩阵可以以这样一种方式操作，以提供易于阅读的解。这种操作称为行简化。行简化技术将矩阵转化为行简化阶梯形不改变方程组的解。

的行简化阶梯形一个矩阵的 $一个$ $\大($表示 ${rref} \文本(A) \大)$是一个维数相等的矩阵，满足:

1. 每一行最左边的非零元素为 $1$．这个元素被称为枢轴。
2. 任何列最多可以有 $1$主。如果一个列有一个主元，那么该列中的其他元素也将是主元 $0$．
3. 对于任意两列 $C_ {1}$而且 $C_ {2}$它们的轴在行中 $R_ {1}$而且 $R_ {2},$分别，如果pivot in $C_ {1}$在主轴的左边 $C_ {2}$,然后 $R_ {1}$以上 $R_ {2}$．换句话说，对于任意两个轴 $P_ {1}$而且 $P_ {2}$,如果 $P_ {2}$是在的右边 $P_ {1}$,然后 $P_ {2}$低于 $P_ {1}$．
4. 只有0组成的行位于矩阵的底部。

要将任何矩阵转化为行简化阶梯形，高斯消去法执行。有三种基本行运算用来实现行简化阶梯形:

1. 开关两行。
2. 用任何非零常数乘一行。
3. 将一行的标量乘以任意另一行。

找到 ${rref} \文本(A)$采用高斯-乔丹消去法，其中

$左= \[开始\{数组}{c c c} 2 & 6 & 2 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9 \ \ \{数组}结束\右)。$

---

第一行最左边的元素必须是1，所以第一行被2除:

$\left[\begin{array}{c c c} 2 & 6 & -2\\ 1 & 6 & -4 \\ -1 & 4 & 9 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第一行除以2。}]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9数组{}\ \ \ \端)。$

左上角的元素是一个主元，所以第一列中的其他元素必须为0。这可以通过用第二行减去第一行来实现。此外，可以将第一行与第三行相加，以获得第一列所需的0:

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9 \ \ \{数组}结束\对]\ ce{- >[\大型R_2——R_1 \文本{和}R_3 + R_1]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 3 3 \ \ & 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端)。$

现在最左边一列是 $左\[开始\{数组}{c} 1 \ \ 0 \ \ \ \ \{数组}结束\正确)$，第二行除以3，中间元素等于1:

$\left[\begin{array}{c c c} 1 & 3 & -1\\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 7 & 8 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第二行除以3。}]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端)。$

第二列的顶部和底部元素可以通过适当的行操作变为0:

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端]\ ce{- >[\大型R_1 - 3 r_2 \文本{和}R_3 - 7 r_2]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 15数组{}\ \ \ \端)。$

中间这一列 $左\[开始\{数组}{c} 0 1 \ \ \ \ \ \ \{数组}结束\正确)$，该方法通过第三行除以15继续到第三列:

$\left[\begin{array}{c c c} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 15 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{除以15}]}\left[\begin{array}{c c c} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]$

在这个过程的最后一步中，第三行的倍数被添加到第一行和第二行，这样最后一列就变成 $c数组左\[开始\{}{}\ \ 0 \ \ 1 \ \ \{数组}结束\]:$

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]\ ce{- >[大型R_1 - 2 R_3 \ \文字{和}R_2 + R_3]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]。\ _ \广场$

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以下步骤可用于求解线性方程组的解:

1. 把给定的方程转换成增广矩阵。
2. 进行行运算得到矩阵的行简化阶梯形。
3. 将增广矩阵转换回一组方程。

一旦有了这种形式，增广矩阵所表示的线性方程组的可能解可以由三种情况确定。

案例1。如果 ${rref} \文本(A)$是单位矩阵，则方程组有唯一解。

当逐行读取时，这个增广矩阵说 $X = -1 y = 2，$而且 $z = 3:$

$左\[开始\{数组}{c c c | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \ \ 2 \ \ & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \ \ \{数组}结束\]。$

例2。如果 ${rref} \文本(A)$包含一行0后跟一个增广值0，则系统有无穷多个解。

考虑下面的行简化阶梯形增广矩阵。最后一行是 $\[0 \水平间距{。15厘米}\水平间距{0。15厘米}\水平间距{0。15厘米}| \水平间距{。15厘米}0 \]$或 $0 = 0,$这并不矛盾。其他行读取为 $X + 4y = -1$而且 $z = 2。$这决定了一个值 $z,$但是有无限多对实数 $x$而且 $y$这样 $X + 4y = -1，$所以这个方程组有无限个解

$左\[开始\{数组}{c c c | c} 1 & 4 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 2 \ \ 0 & 0 & 0 & 0数组{}\ \ \ \端)。$

例3。如果 ${rref} \文本(A)$包含一行零，后跟一个非零的增广值，则系统无解。

这种情况类似于第一种情况，因为最下面一行包含的大部分是0。但是，注意到矩阵的最后一行是 $\[0 \水平间距{。15厘米}\水平间距{0。15厘米}\水平间距{0。15厘米}| \水平间距{。15厘米}1 \]$，它的意思是 $0 = 1。$这是一个矛盾;因此，系统没有解:

$左\[开始\{数组}{c c c | c} 1 & 4 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 2 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]。$

求的值 $x$而且 $y$满足下列方程组:

$\begin{cases} 5x - y =1\\ x + 2y = 9。\{病例}结束$

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对于本例，行减少技术将优于标准消除技术。所给方程组可写成以下增广矩阵:

$左\[开始\{数组}{cc | c} 5 & 1 & 1 \ \ 1 & 2 & 9数组{}\ \ \ \端)。$

进行Gauss-Jordan消去，得到矩阵的行简化阶梯形:

$左\[开始\{数组}{cc | c} 5 & 1 & 1 \ \ 1 & 2 & 9 \ \ \{数组}结束\对]\ ce{- >[\文本{交换}{和}R_2 R_1 \文本。]左}\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 5 & 1 & 1 \ \ \{数组}结束\]$

$左\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 5 & 1 & 1 \ \ \{数组}结束\]\ ce {- > [R_2 - 5 r_1]} \离开[\开始{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 0 & -11 & -44 \ \ \{数组}结束\]$

$\left[\begin{array} {cc|c} 1 & 2 & 9\\ 0 & -11 & -44\\ \end{array} \right] \ce{->[\text{第二行除以}-11。]左}\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 0 & 1 & 4 \ \ \{数组}结束\]$

$左\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 0 & 1 & 4 \ \ \{数组}结束\]\ ce {- > [R_1 - 2 r_2]} \离开[\开始{数组}{cc | c} 1 & 0 & 1 \ \ 0 & 1 & 4 \ \ \{数组}结束\]。$

这个简化表格的第一行是 $x = 1$第二行是 $y = 4$． $_ \广场$

注意，这个过程本质上与标准消除相同。这种方法的主要优点是表示法简洁 $（$不需要写变量名，比如 $x, y,$而且 $z,$重复 $）$跟踪所采取的步骤也很容易。

如前所述，方程组可以用矩阵乘法表示 $Ax = b。$从这里，由列矩阵表示的解 $x$方程两边左乘系数矩阵的逆能得到吗 $一个^ {1}$：

$Ax = b \意味着^ {1}Ax = ^ {1} \ b意味着x = ^ {1} b。$

这种方法的一个缺陷出现在 $\侦破(A) = 0。$因为的行列式 $一个$为0，它不能有逆，这意味着该方法将失败。事实上, $\侦破(A) = 0$相当于 ${rref} \文本(A)$包含一行零。因此，这个方程组 $Ax = b$表示不会有唯一解。然而，这个系统可能有无限多个解，也可能没有解，需要一种不同的方法来发现它。

克莱默法则是一个用行列式给出线性方程组解的公式。下面的规则语句只使用了三个变量，但该规则可应用于任何规模的系统。

考虑一个由三个变量组成的方程组:

$\{对齐}开始现代{1}x + b_ {1} y + c_ z & = {1} d_{1} \ \现代{2}x + b_ {2} y + c_ {2} z & = d_{2} \ \现代{3}x + b_ {3} y + c_ {3} z & = d_{3}。结束\{对齐}$

给出了该系统的解

$x = \ dfrac{\检波器(现代){1}}{\侦破(A)} \四y = \ dfrac{\检波器(现代){2}}{\侦破(A)} \四z = \ dfrac{\检波器(现代){3}}{\侦破(A)},$

在哪里 $= \ {bmatrix}开始现代{1}& b_ {1} & c_{1} \ \现代{2}& b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}& b_ {3} & c_ {3} \ {bmatrix}结束$系数是矩阵和each吗 $现代{我}$是 $一个$与 $我^ \文本{th}$列所取代 ${bmatrix} \开始d_ {1} \ \ d_ {2} \ \ d_ {3} \ {bmatrix}结束。$

注意:

• 如果 $\侦破(A) = 0$如果有任何一个 $\侦破(A_1)$， $\侦破(a₂),$或 $\侦破(A_3)$并不等于 $0$，则方程组无解。
• 如果 $\侦破(A) = 0$而且 $\侦破(A_1)$， $\侦破(a₂),$而且 $\侦破(A_3)$都等于0，那么解可能存在，也可能不存在。如果一个解存在，那么方程组将有无穷多个解。
• 该方法的计算复杂度增加了约 $O (n),$所以它是笨拙的 $3 \乘以3$系统。

如前所述，一个方程组可以表示为矩阵的乘积，如

$\ {bmatrix}开始现代{1}& b_ {1} & c_{1} \ \现代{2}& b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}& b_ {3} & c_最终{bmatrix} {3} \ \ {bmatrix}开始x \ \ \ \ z \ {bmatrix} = {bmatrix} \开始结束d_ {1} \ \ d_ {2} \ \ d_ {3} \ {bmatrix}结束。$

系数矩阵的行列式 $一个$是由

$\侦破(A) =左| \ \{数组}{ccc}开始现代{1}& b_ {1} & c_{1} \ \现代{2}& b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}& b_ {3} & c_{3} \结束数组{}\ |。$

如果矩阵的一列或一行乘以一个常数，那么它的行列式的值乘以那个常数。第一列乘以 $x,$这个方程是

$x \侦破(A) =左| \ \{数组}{ccc}开始现代x & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代x & b_ {2} {2} & c_{2} \ \现代x & b_ {3} {3} & c_{3} \结束数组{}\ |。$

在这一点上，值得指出的是，可以将列简化技术用作行简化技术，同时保留解决方案。所以增加 $y$乘以第二列 $z$乘以第三列对第一列的结果

$x \侦破(A) =左| \ \{数组}{ccc}开始现代x & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代x & b_ {2} {2} & c_{2} \ \现代x & b_ {3} {3} & c_{3} \结束数组{}\右| \ xrightarrow [] {c_ + yC_ {1} {2} + zC_{3}} \左| \{数组}{ccc}开始现代x + b_ {1} {1} y + c_ z & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代{2}x + b_ {2} y + c_ {2} z & b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}x + b_ {3} y + c_ {3} z & b_ {3} & c_{3} \结束数组{}\ |。$

然而,由于 $A_ {1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_1$ $（$和类似的 $d_2$而且 $d_3),$新的第一列是精确的 $左| \ \{数组}{c}开始d_ {1} \ \ d_ {2} \ \ d_{3} \结束数组{}\ |。$也就是说,

$\{对齐}开始左| x \侦破(A) = \ \{数组}{ccc}开始现代x + b_ {1} {1} y + c_ z & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代{2}x + b_ {2} y + c_ {2} z & b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}x + b_ {3} y + c_ {3} z & b_ {3} & c_{3} \结束数组{}\右左| | = \ \{数组}{ccc}开始d_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \ \ d_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ \ d_ {3} & b_ {3} & c_{3}{数组}\ \端| & = \侦破(A_1) \四\文本x{或}\ \ \ \ \相同功能(一)& = x = \ \侦破(A_1) \ longrightarrow压裂{\侦破(A_1)}{\侦破(A)}。结束\{对齐}$

通过类似的结构，

$y = \压裂{\侦破(A₂)}{\侦破(A)}{和}\ \四\文本四z = \压裂{\侦破(A_3)}{\侦破(A)}。\ _ \广场$

$\begin{cases} 5x - y =1\\ x + 2y = 9\\ \\ end{cases}$

根据克莱默法则，上述方程组的解为

$X = \frac{\左| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 9 & 2 \end{array} \右|}{\左| \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 &} \quad \quad y = \frac{\左| \begin{array}{cc} 5 & 1 \\ 1 & 9 \end{array} \右|}{\左| \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \右|}= 4。$