线性方程组(联立方程组)
一个线性方程组是一个集合线性方程涉及到相同的变量集。作为一个例子,
一个有两个变量的方程组是吗 而且 线性系统的解是对满足系统中每个方程的变量赋值。对于一个给定的系统,我们可以有一个解,没有解或者无穷多个解。
类型
线性方程组如下图所示:
- 不一致:如果一个线性方程组没有解,那么它被称为不一致的。
- 一致:如果一个线性方程组至少有一个解,那么它被称为一致的。
- 齐次方程组:如果线性方程组的常数项为零,即“=”号后面的值为零,则称为齐次方程组。
- 平凡解和非平凡解:每一个齐次方程组都有一个公解,那就是0因为它们对所有变量都有一个公解,那就是0。这个解叫做平凡解。如果有其他的解,那么它们被称为非平凡解。
我们将探讨如何用代换法和消元法求解线性方程组。
代入法
在这种方法中,我们
- 找到一个隔离变量的关系改变话题;
- 将该关系式代入其他方程,使变量数减少1;
- 重复这个过程,直到我们只剩下一个变量,然后求解它;
- 将解出的值代回关系式中;
- 陈述完整的解决方案。
让我们按照上面的步骤来解下面的方程组:
第一步:分离变量 使用第二个方程: .
步骤2。把这个关系式代入另一个方程: .
步骤3。重复,然后求解。因为我们现在只有一个变量,求解它: .
步骤4。代回关系式: .
第5步。陈述完整的解决方案: .
解方程组
在这个例子中,因为我们已经给出了 在第二个方程中,我们知道 .把这个代入第一个方程,我们得到 ,因此 .
注意:我们使用哪个方程和我们分离出哪个变量是很重要的。在这个例子中,即使我们得到 从第一个方程中,我们发现我们不能把它代入第二个方程,因为没有 术语。
解方程组
解第一个方程 给了 .把这个代入第二个方程 然后把这个值代入第一个方程,我们有 因此,方程组的解是 .
对于给定的线性方程组,使用代换过程可能不是最快也不是最简单的方法。然而,如果我们能完成整个过程,我们总能保证找到解决方案。“系统”一词表明,这些方程式将被集体考虑,而不是单独考虑。因此,任何方程的解都不能失去有效性。选择你的选项,使你的计算简单,并使用任何适合你的方法。
消元法
消元法乘以给定的 具有适当常数的方程,这样当修改后的方程被加进去时,其中一个变量就被消去了。一旦这样做了,系统将有效地简化为一个变量和一个方程。这个过程不断重复,直到只剩下一个变量和一个方程(即变量的值)。从那里,得到的值被代入有两个变量的方程,允许找到第二个变量的解。重复这个过程,直到所有的值 变量被发现。
方法
- 找出两个具有相同变量的方程。将每个方程乘以一个数,使它们的系数相等。
- 减去两个方程。
- 重复这个过程,直到我们只剩下一个变量,然后求解它。
- 将解出的值代回原方程以解出剩下的变量。
让我们按照上面的步骤来解下面的方程组:
第一步:将每个方程乘以一个数字,使变量的系数相同。
假设我们要消去这个变量 .
第一个方程乘以3第二个方程乘以1,就得到
第二步:将两个方程相减:
第三步:重复并求解。
我们已经只剩下一个变量了。解决这个问题 .步骤4:将解出的值代回关系中。
代入第一个方程,得到 .
线性方程组——多变量
当我们有更多的变量需要处理时,我们只需要记住坚持一种特定的方法,并不断减少方程或变量的数量。
我们将用这两种方法求解以下方程组:
代入法
我们从上面三个方程中的第一个开始:
- 第一步,第一个方程给出 .
- 第二步:替换 在第二个方程中,我们得到 代替 在第三个方程中,我们得到
- 步骤3。我们需要重复,直到我们只有一个方程。
现在,我们开始 这两个方程 而且 上图:
- 第一步:方程 给了我们 .
- 第二步:替换 在 给了
- 第三步:我们现在只剩下一个方程了。解决这个问题 .
- 步骤4:替代 成 获得 现在,替代 而且 成 获得
- 步骤5:因此,解决方案是
消元法
我们得到与上面相同的线性方程组:
第一步:让我们消去 从方程。
步骤2。第一个方程的2倍减去第二个是 第一个方程的三倍减去第三个是
我们需要重复,直到我们只有一个变量。
步骤1。让我们消除 从方程。
步骤2。第四个方程减去第五个是
步骤3。现在只剩下一个变量了。解决这个问题 .
步骤4。替代 第四个方程 获得 现在,替代 代入第一个方程 获得
第5步。因此,解决方案是
解以下方程组:
让我们从最后一个方程开始。解 ,我们获得
把这个代入第二个方程
把这个代入第一个方程
因此,我们现在已经将我们的系统简化为两个变量的方程:
解 在第一个方程中,我们得到
把这个代入第二个方程
因此,
因此,的值 而且 哪些满足给定的方程组
基本行运算或高斯消去法
主要文章:用矩阵求解线性系统
初等行运算或高斯消去法是求解线性方程组的常用方法。通过这种方法,每个人都可以通过已知的矩阵行变换来求解线性方程组。下面解释了本节需要知道的术语。
增广矩阵:
一个方程组的增广矩阵是一个数字矩阵,其中每一行表示一个方程的常数,每列表示一个变量的所有系数。假设线性方程组为
那么这个线性方程组的增广矩阵是
什么是行阶梯形,简化行阶梯形和领先1?
这个矩阵是行简化阶梯形
要成为这种形式,矩阵必须具有以下属性:
- 如果一行不完全由0组成,那么该行的第一个非零数字就是1。我们称之为前导1。
- 如果有任何行完全由0组成,那么它们将在矩阵的底部组合在一起。
- 在不完全由0组成的连续两行中,下行的前导1比上行的前导1更靠右。
- 每一列如果包含一个前导1,那么该列的其他地方都是0。
具有前三个性质的矩阵称为行阶梯形。如果这个矩阵有 性质,那么它就叫做行简化阶梯形。
用初等行变换将矩阵变为行阶梯形:
可以用行初等运算将矩阵变换为行简化阶梯形,也可以用行简化阶梯形将行变换为行简化阶梯形,具体如下:
- 把矩阵的一行和矩阵的另一行交换。
- 矩阵的一行乘以一个非零标量常数。
- 把这一行替换成这一行加上一个常数乘以矩阵的另一行。
假设一个线性方程组是
它的增广矩阵是
现在,我们将对这个矩阵进行初等行变换并将其转化为行简化阶梯形:
最后矩阵是行阶梯形:
最后,我们得到了线性方程组的简化形式,即 通过解这个,我们得到