用矩阵求解线性系统

求解线性方程组是许多学科中遇到的一个常见问题。解决这些问题是如此重要，以至于解决这些问题的技术(替换，消除)在代数学习中很早就学会了。本wiki将详细介绍基本的消去技术，并探索更多可以从中获得的技术线性代数．

一个方程组可以用几种不同的矩阵形式表示。一种方法是将系统实现为系统中的系数和变量的列向量的矩阵乘法。这个方阵叫做系数矩阵因为它由方程组中变量的系数组成:

$文本\{产品矩阵:}\四\开始{数组}{c c c c c c c} 2 x和y & + + & 4和7 z & = & 4 \ \ 3 x & + & 3 y和z + & 2 & = & 8 \ \ 5 x和z + & 6 y & + & 3 & = & 0 \ \ \{数组}结束\ longrightarrow \离开[\开始{数组}{c c c} 2 & 4和7 \ \ 3和3 & 2 \ \ 5 & 6 & 3 \ \ \{数组}结束\]\离开[\{数组}{c}开始x \ \ \ \ \ \ \ z结束数组{}\右]= \离开[\{数组}{c}开始4 \ \ 8 \ \ 0 \结束数组{}\]。$

另一种表示形式叫做An增广矩阵是通过将矩阵的列拼接在一起并由竖条分割而创建的。系数矩阵被放在竖条的左边，而每个方程右边的常数被放在竖条的右边:

$文本{增广矩阵:}\ \四\四\开始{数组}{c c c c c c c} 2 x和y & + + & 4和7 z & = & 4 \ \ 3 x & + & 3 y和z + & 2 & = & 8 \ \ 5 x和z + & 6 y & + & 3 & = & 0 \ \ \{数组}结束\ longrightarrow \离开[\开始{数组}{c c c | c} 2 & 4 & 7 & 4 \ \ 3 & & 2 & 8 \ \ 5 & 6 & 3 & 0数组{}\ \端)。$

表示这些系统的矩阵可以通过这种方式进行操作，从而提供易于阅读的解。这种操作称为行约简。行约简技术将矩阵转换为行简化阶梯形不改变方程组的解。

的行简化阶梯形一个矩阵的 $一个$ $\大($表示 ${rref} \文本(A) \大)$是一个等维矩阵，满足:

1. 每一行中最左边的非零元素是 $1$．这个元素被称为枢轴。
2. 任何列最多可以有 $1$主。如果一列有一个主元，那么该列中的其余元素将是 $0$．
3. 对于任意两列 $C_ {1}$而且 $C_ {2}$它们的轴是一排排的 $R_ {1}$而且 $R_ {2},$分别，如果pivot in $C_ {1}$在主轴的左边 $C_ {2}$,然后 $R_ {1}$以上 $R_ {2}$．换句话说，对于任意两个主轴 $P_ {1}$而且 $P_ {2}$,如果 $P_ {2}$在…的右边 $P_ {1}$,然后 $P_ {2}$低于 $P_ {1}$．
4. 仅由0组成的行位于矩阵的底部。

要将任意矩阵转化为行简化阶梯形，高斯消去法执行。有三种初等行变换用于实现行简化阶梯形:

1. 交换两行。
2. 将一行乘以任何非零常数。
3. 将一行的标量倍数添加到任何其他行。

找到 ${rref} \文本(A)$采用高斯-乔丹消去，其中

$左= \[开始\{数组}{c c c} 2 & 6 & 2 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9 \ \ \{数组}结束\右)。$

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第一行最左边的元素必须是1，所以第一行被2除:

$\left[\begin{array}{c c c} 2 & 6 & -2\\ 1 & 6 & -4 \\ -1 & 4 & 9 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第一行除以2。}]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9数组{}\ \ \ \端)。$

左上角的元素是一个主元，所以第一列的其他元素必须是0。这可以通过用第二行减去第一行来实现。此外，可以将第一行加到第三行，以获得第一列中所需的0:

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 6和4 \ \ 1 & 4和9 \ \ \{数组}结束\对]\ ce{- >[\大型R_2——R_1 \文本{和}R_3 + R_1]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 3 3 \ \ & 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端)。$

现在最左边的一列是 $左\[开始\{数组}{c} 1 \ \ 0 \ \ \ \ \{数组}结束\正确)$，中间的元素可以用第二行除以3得到1:

$\left[\begin{array}{c c c} 1 & 3 & -1\\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 7 & 8 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第二行除以3。}]左}\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端)。$

第二列的顶部和底部元素可以通过适当的行操作置0:

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 3 1 \ \ & 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 7和8数组{}\ \ \ \端]\ ce{- >[\大型R_1 - 3 r_2 \文本{和}R_3 - 7 r_2]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 15数组{}\ \ \ \端)。$

中间这一列 $左\[开始\{数组}{c} 0 1 \ \ \ \ \ \ \{数组}结束\正确)$，该方法通过将第三行除以15继续到第三列:

$\left[\begin{array}{c c c} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 15 \\ \end{array}\right] \ce{->[\large \text{第三行除以15}]}\left[\begin{array}{c c} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]。$

在该过程的最后一步，第三行的倍数被添加到第一行和第二行，这样最后一列就变成 $c数组左\[开始\{}{}\ \ 0 \ \ 1 \ \ \{数组}结束\]:$

$左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 2 \ \ 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]\ ce{- >[大型R_1 - 2 R_3 \ \文字{和}R_2 + R_3]}左\[开始\{数组}{c c c} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]。\ _ \广场$

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下面的步骤可以用来得到线性方程组的解:

1. 把给定的方程转化为增广矩阵。
2. 行运算得到矩阵的行简化阶梯形。
3. 将增广矩阵转换回一组方程。

一旦形成这种形式，增广矩阵所表示的线性方程组的可能解可以由三种情况确定。

案例1。如果 ${rref} \文本(A)$是单位矩阵，那么方程组有唯一解。

当逐行读取时，增广矩阵表示 $X = -1 y = 2，$而且 $Z = 3:$

$左\[开始\{数组}{c c c | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \ \ 2 \ \ & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \ \ \{数组}结束\]。$

例2。如果 ${rref} \文本(A)$包含一行0后跟一个0增广值，则系统有无穷多个解。

考虑下面的行简化阶梯形增广矩阵。最后一行是 $\[0 \水平间距{。15cm} 0 \hspace{;15cm} 0 \hspace{;15cm} | \hspace{;15厘米}0 \]$或 $0 = 0，$这并不矛盾。其他行读取 $X + 4y = -1$而且 $Z = 2。$这决定了的值 $z,$但是有无穷多对实数 $x$而且 $y$这样 $X + 4y = -1，$所以这个方程组有无限个解

$左\[开始\{数组}{c c c | c} 1 & 4 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 2 \ \ 0 & 0 & 0 & 0数组{}\ \ \ \端)。$

例3。如果 ${rref} \文本(A)$包含一行零，后面跟着一个非零的增广值，则系统没有解。

这种情况类似于第一种情况，即底部一行主要包含0。但是，请注意矩阵的最后一行是 $\[0 \水平间距{。15cm} 0 \hspace{;15cm} 0 \hspace{;15cm} | \hspace{;15厘米}1 \]$，其内容为 $0 = 1。$这是一个矛盾;因此系统没有解:

$左\[开始\{数组}{c c c | c} 1 & 4 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 2 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\]。$

求的值 $x$而且 $y$满足下列方程组:

$\begin{cases} 5x - y =1\\ x + 2y = 9。\{病例}结束$

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对于本例，行约简技术将优于标准消去技术。给定方程组可以写成如下增广矩阵:

$左\[开始\{数组}{cc | c} 5 & 1 & 1 \ \ 1 & 2 & 9数组{}\ \ \ \端)。$

进行Gauss-Jordan消去，得到矩阵的行简化阶梯形:

$左\[开始\{数组}{cc | c} 5 & 1 & 1 \ \ 1 & 2 & 9 \ \ \{数组}结束\对]\ ce{- >[\文本{交换}{和}R_2 R_1 \文本。]左}\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 5 & 1 & 1 \ \ \{数组}结束\]$

$左\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 5 & 1 & 1 \ \ \{数组}结束\]\ ce {- > [R_2 - 5 r_1]} \离开[\开始{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 0 & -11 & -44 \ \ \{数组}结束\]$

$\left[\begin{array} {cc|c} 1 & 2 & 9\\ 0 & -11 & -44\\ \end{array} \right] \ce{->[\text{第二行除以}-11。]左}\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 0 & 1 & 4 \ \ \{数组}结束\]$

$左\[开始\{数组}{cc | c} 1 & 2 & 9 \ \ 0 & 1 & 4 \ \ \{数组}结束\]\ ce {- > [R_1 - 2 r_2]} \离开[\开始{数组}{cc | c} 1 & 0 & 1 \ \ 0 & 1 & 4 \ \ \{数组}结束\]。$

这个简化表格的第一行是 $X = 1$第二行是 $Y = 4$． $_ \广场$

注意，这个过程本质上与标准消去相同。这种方法的主要优点是表示法简洁 $（$不需要写变量名，比如 $x, y,$而且 $z,$重复 $）$并且便于跟踪所采取的步骤。

如前所述，方程组可以用矩阵乘法表示 $Ax = b。$从这里，用列矩阵表示的解 $x$方程两边左乘系数矩阵的逆，能得到什么 $一个^ {1}$：

$Ax = b \意味着^ {1}Ax = ^ {1} \ b意味着x = ^ {1} b。$

这种方法的一个缺陷出现在 $\det(A) = 0。$因为行列式 $一个$为0，它不能有逆，这意味着这个方法将失败。事实上, $\det(A) = 0$等于 ${rref} \文本(A)$包含一行零的。这样，这个方程组 $Ax = b$表示将没有唯一解。然而，系统可能有无穷多个解，也可能没有解，因此需要一种不同的方法来发现它。

克拉默法则是一个公式，它使用行列式来提供线性方程组的解。下面的规则语句只使用了三个变量，但该规则可以应用于任何规模的系统。

考虑一个由三个变量组成的方程组:

$\{对齐}开始现代{1}x + b_ {1} y + c_ z & = {1} d_{1} \ \现代{2}x + b_ {2} y + c_ {2} z & = d_{2} \ \现代{3}x + b_ {3} y + c_ {3} z & = d_{3}。结束\{对齐}$

给出了该系统的解

$x = \ dfrac{\检波器(现代){1}}{\侦破(A)} \四y = \ dfrac{\检波器(现代){2}}{\侦破(A)} \四z = \ dfrac{\检波器(现代){3}}{\侦破(A)},$

在哪里 $= \ {bmatrix}开始现代{1}& b_ {1} & c_{1} \ \现代{2}& b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}& b_ {3} & c_ {3} \ {bmatrix}结束$系数是矩阵和每个 $现代{我}$是 $一个$与 $我^ \文本{th}$列替换为 ${bmatrix} \开始d_ {1} \ \ d_ {2} \ \ d_ {3} \ {bmatrix}结束。$

注意:

• 如果 $\侦破(A) = 0$如果其中任何一个 $\侦破(A_1)$， $\侦破(a₂),$或 $\侦破(A_3)$不等于 $0$，则系统无解。
• 如果 $\det(A) = 0$而且 $\侦破(A_1)$， $\侦破(a₂),$而且 $\侦破(A_3)$都等于0，那么解可能存在，也可能不存在。如果一个解存在，那么这个方程组将有无穷多个解。
• 该方法的计算复杂度增加到 $O (n),$所以它是笨拙的 $3 \乘以3$系统。

如前所述，方程组可以表示为矩阵的乘积，如

$\ {bmatrix}开始现代{1}& b_ {1} & c_{1} \ \现代{2}& b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}& b_ {3} & c_最终{bmatrix} {3} \ \ {bmatrix}开始x \ \ \ \ z \ {bmatrix} = {bmatrix} \开始结束d_ {1} \ \ d_ {2} \ \ d_ {3} \ {bmatrix}结束。$

系数矩阵的行列式 $一个$是由

$\侦破(A) =左| \ \{数组}{ccc}开始现代{1}& b_ {1} & c_{1} \ \现代{2}& b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}& b_ {3} & c_{3} \结束数组{}\ |。$

如果矩阵的一列或一行乘以一个常数，那么它的行列式的值乘以这个常数。在第一列乘以 $x,$这个方程变成

$x \侦破(A) =左| \ \{数组}{ccc}开始现代x & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代x & b_ {2} {2} & c_{2} \ \现代x & b_ {3} {3} & c_{3} \结束数组{}\ |。$

在这一点上，值得指出的是，列约简技术可以像行约简技术一样使用，同时保留解。所以增加 $y$乘以第二列和 $z$乘以第三列到第一列

$x \侦破(A) =左| \ \{数组}{ccc}开始现代x & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代x & b_ {2} {2} & c_{2} \ \现代x & b_ {3} {3} & c_{3} \结束数组{}\右| \ xrightarrow [] {c_ + yC_ {1} {2} + zC_{3}} \左| \{数组}{ccc}开始现代x + b_ {1} {1} y + c_ z & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代{2}x + b_ {2} y + c_ {2} z & b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}x + b_ {3} y + c_ {3} z & b_ {3} & c_{3} \结束数组{}\ |。$

然而,由于 $A_ {1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_1$ $（$同样的 $d_2$而且 $d_3),$新的第一列是精确的 $左| \ \{数组}{c}开始d_ {1} \ \ d_ {2} \ \ d_{3} \结束数组{}\ |。$也就是说,

$\{对齐}开始左| x \侦破(A) = \ \{数组}{ccc}开始现代x + b_ {1} {1} y + c_ z & b_ {1} {1} & c_{1} \ \现代{2}x + b_ {2} y + c_ {2} z & b_ {2} & c_{2} \ \现代{3}x + b_ {3} y + c_ {3} z & b_ {3} & c_{3} \结束数组{}\右左| | = \ \{数组}{ccc}开始d_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \ \ d_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \ \ d_ {3} & b_ {3} & c_{3}{数组}\ \端| & = \侦破(A_1) \四\文本x{或}\ \ \ \ \相同功能(一)& = x = \ \侦破(A_1) \ longrightarrow压裂{\侦破(A_1)}{\侦破(A)}。结束\{对齐}$

通过类似的结构，

$y = \压裂{\侦破(A₂)}{\侦破(A)}{和}\ \四\文本四z = \压裂{\侦破(A_3)}{\侦破(A)}。\ _ \广场$

$\begin{cases} 5x - y =1\\ x + 2y = 9\\ \end{cases}$

根据克拉默法则，上述方程组的解是

$X = \frac{\左| \begin{array}{cc} 1 & -1 \ 9 & 2 \end{array} \右|}{\左| \begin{array}{cc} 5 &} 1 \ 1 & 9 \end{array} \右|}{cc} 5 & -1 \ 1 & 2 \end{array} \右|}= 4。$