集

关于计算机科学术语，请看集(ADT)．

一个集一组无序的项目(称为元素)．例如, $\ {\ text {cat}，\ text {dog}，\ text {fish}，\ text {bird} \}$是一组动物， $\{2、4、6、8、10 \}$一组是偶数吗 $\{a, b, c, d\}$是一组字母。虽然集是非常简单的数据结构，但它们对于了解组合，概率和数字理论中的理解概念非常重要。

集合是一组无序的元素，由花括号之间的项目序列(以逗号分隔)表示。 $\ {$”和“ $\}$"．

是什么意思无序？

集合没有以任何特定的方式组织。例如，集合 $= \{1、2、3、4、5 \}$似乎是1到5之间的订购数字集，但此集合实际上是相同的 $b = \ {2,3,1,5,4 \}$．一套元素的顺序无关紧要。如果它们包含所有相同的元素，则两组相等。

集合中重复的元素没有区别。 $= \ {1, 1, 1, 1 \}$等于 $B = \ \ {1}$．实际上，一般没有写入以包括重复元素。

可以使用一些有用的操作来组合、比较和分析集合。

• 联盟:两个集合的并集，记为 $\杯$（被称为a杯子)，指两个集合中至少一个集合中的所有元素的集合。例如, ${1,2,3\} \cup \{3,4,5\} ={1,2,3,4,5\}。$在布尔逻辑，联合表示为逻辑或。

• 路口：两组的交叉点，表示 $\帽$（被称为a帽)，指的是两个集合中元素的集合。例如, $\ {1,2,3 \} \ cap \ {3,4,5 \} = \ {3 \}。$在布尔逻辑中，交集表示为逻辑与。

• 补充(绝对):表示 $^ C.$，绝对补指的是不属于一个集合的所有元素的集合。如果我们考虑全集， $U$，作为所有整数的集合， $\ {1,2,3 \} ^ c$代表除了1,2和3之外的所有整数。在布尔逻辑中，补充表示为逻辑而不是。

• 补充(相对):相对补充，表示 $\ backslash.$，指在第一组中但不在第二组中的一组元素。例如, $\{1,2,3\} \反斜杠\{3,4,5\}={1,2\}。$相对补充也可以通过减号，从而表达 $\ {1,2,3 \} - \ {3,4,5 \} = \ {1,2 \}。$

• 对称差异：对称差分,表示 $\三角形$，指的是属于这两个集合中的一个但不同时属于这两个集合中的一个的元素集合。例如, ${1,2,3\} \三角形{3,4,5\}={1,2,4,5\}。$在布尔逻辑中，对称差异表示为逻辑XOR。

什么是 ${2,4,6\} \cup \{3,5,7\} ?$

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象征 $\杯$指两套的联合。

因此， $\{2 4 6 \} \杯\ {3,5,7 \}$是 $\ {2,3,4,5,6,7 \}。\ _ \ Square$

给定以下两个集合

$\ begin {对齐} a＆= \ {2，a ^ 2-4a + 7 \} \\ b＆= \ {a + 1，a ^ 2 + 1，a ^ 2-1 \}，\ end {对齐｝$

如果 $a \ cap b = \ {4 \}，$是什么 $一种？$

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从 $A \cap B = {4\}，$我们知道这两套 $一个$和 $B$一定有 $4$作为一个元素。因此,对于组 $一个$我们有

$\ begin {对齐} a ^ 2-4a + 7＆= 4 \\（a-1）（a-3）＆= 0 \\ \ lightarrow a＆= 1 \ text {或} 3。结束\{对齐}$

如果是值 $一个$是1,组 $B$是

$\{对齐}开始B & = \ {^ 2 + 1 + 1, ^ 2 - 1 \} \\ &= \{ 1 + 1、1 ^ 2 + 1,1 ^ 2 - 1 \} \\ &=\{ 2 2 0 \}。结束\{对齐}$

然后 $a \ cap b = \ {2 \} \ neq \ {4 \}。$

如果是值 $一个$3,设置 $B$是

$\ begin {对齐} b＆= {a + 1，a ^ 2 + 1，a ^ 2-1 \} \\＆= {3 + 1,3 ^ 2 + 1,3 ^ 2-1 \}\\＆= \ {4,10,8 \}。结束\{对齐}$

然后 $A \cap B ={4\}。$

因此，值 $一个$满足 $a \ cap b = \ {4 \}$是 $= 3。＼_ \square$

什么是 $\ {2,4,6,8,10,12 \} \三角形\ {3,6,9,12,15 \}？$

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象征 $\三角形$表示对称差，表示在两个集合中的一个而不是两个集合中的元素的集合。

因此， $\ {2,4,6,8,10,12 \} \三角形\ {3,6,9,12,15 \}$是 $\ {2,3,4,8,9,10,15 \}。\ _ \ square$

De Morgan的法律对于显示等效性，转换和简化逻辑表达有用。

• 德摩根的第一条法律：
  它说明了两个集合的并的补是它们的补的交。为两组 $一个$和 $B,$ $（a \ cap b）^ c =（a）^ c \ cap（b）^ c。$
  在布尔逻辑中，德·摩根第一定律表示为 $\ overline {a + b} = \ overline {a} * \ overline {b}。$
• 德摩根第二定律:
  它说明了两个集合的交点的补是两个集合的并。具体地说, $(A ^c = A^c = A^c = B^c)$
  在布尔逻辑中，德摩根第二定律表示为: $\ overline {a * b} = \ overline {a} + \ overline {b}$．

给定以下条件，用德·摩根第二定律来确定 $a ^ c \ cup b ^ c：$

• $U = \ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \},$在哪里 $U$这是这个问题的所有可能值的集
• $= \{2、5、7、3、1 \}$
• $B = \{9、8、7、5、2 \}$．

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de Morgan的第二律是 $(A ^c = A^c = A^c = B^c)$自从我们正在寻找 $a ^ c \ cup b ^ c$，我们首先确定方程的左边， $(\帽B) ^ c$．

找到 $(\帽B) ^ c$， 决定 $（a \ cap b）：$ $(\帽B)$这两个元素的集合 $一个$和 $B,$所以 $(A \cap B) ={2,5,7\}。$

找到 $(\帽B) ^ c$，比较其中的元素 $(\帽B)$用元素 $U$，以及里面的元素 $(\帽B) ^ c$将是所在的元素 $U$但不是在 $(\帽B)$．所以, $（a \ cap b）^ c = \ {1,3,4,6,8,9 \}$．

我们从De Morgan的第二律上知道 $a ^ c \ cup b ^ c$＝ $(\帽B) ^ c$．换句话说，不在两者中的元素 $一个$和 $B$必须缺少 $一个$或 $B$（或两者）。

检查 $（a \ cap b）^ c = \ {1,3,4,6,8,9 \}$来验证 $(\帽B) ^ c$都缺失了 $一个$或 $B$或两者兼而有之。 $_\正方形$

这里有一些关于集合的重要概念和术语:

• 普遍集合：表示 $你，$一个全集是一个特定问题的所有可能元素的集合。例如，如果一个问题只处理正的非零整数， $u = \ {1,2,3,4，\ dots \}$．

• 空/空集:用 $\ {\}$或 $\ PHI.$，如果一个集合不包含任何元素，则称它为空或空。例如,如果 $一个$是不是所有整数的集合 $x$满足 $x ^ 2 = 7,$然后是这个集合 $一个$没有元素，因此 $a = \ phi。$

• 子集：如果集合中的每个元素 $一个$也是该集合的成员 $B,$然后我们这么说 $一个$是 $B。$例如,如果 $a = \ {1,2,3 \}$和 $b = \ {5,4,3,2,1 \}，$然后 $一个$是 $B,$或 $a \ subset b.$当两个集合相等时，它们是彼此的子集。

• 基数：一套的基数 $S，$写成 $\ lvert s \ rfter，$是不同元素的数量 $S.$例如,如果 $一个$是《密西西比》中所有字母的集合吗 $= \ {m - i - p, s \},$因此 $一\ \ lvert rvert = 4。$

• 包含排除原则：包含不相容原则说明任意两个集合 $一个$和 $B$满足 $lvert A\ lvert B\ lvert - lvert A\ lvert cap B\rvert$换句话说，得到集合并集的大小 $一个$和 $B$，我们首先添加(包括)的所有元素 $一个$，然后我们添加（包括）所有元素 $B$，然后删除(排除)它们交集中的元素 $a \ cap b$，因为这些元素被计算了两次 $（$即一次 $一个$和曾经 $B)。$下面是一个具体的例子 $a = \ {1,2,3,4,5 \}$和 $B = \ {4 5 6 7 8 \}$， 这使 $a \ cap b = \ {4,5 \}$．然后 $\ ltvert \ rfter = 5$， $\ \ rvert lvert B = 5$, $\ l vvert a \ cap b \ rfter = 2$．根据包容不相容原理， $\ lvert a \ cup b \ rfter = \ ltvert a \ rvert + \ ltvert b \ rfter- \ ltvert a \ cap b \ rfter = 5 + 5 - 2 = 8，$我们可以通过计算元素直接验证 $lvert A \cup B\rvert = {1,2,3,4,5,6,7,8\}$请注意，交叉口（4和5）中的元素被计算一次 $一个$和一次 $B$因此有必要将他们排除在外。

对于这个问题，通用集 $U$是

$U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，$

及其三个子集 $A、B$和 $C$如下面所述：

$\ begin {对齐} a＆= \ {1,2,3,4,5,6,7 \} \\ b＆= \ {2,6,8,9 \} \\ c＆= \ {9，10 \}。结束\{对齐}$

那是什么 $（a ^ {c} \ cup b）\ backslash c？$

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象征 $一个^ {c}$表示所有不在其中的元素的集合 $一个。$自从 $A = {1,2,3,4,5,6,7}，$套装 $一个^ {c}$是

$a ^ {c} = \ {8,9,10 \}。$

然后, $a ^ {c} \ cup b$是

$a ^ {c} \ cup b = \ {8,9,10 \} \ cup \ {2,6,8,9 \} = \ {2,6,8,9,10 \}。$

所以， $（a ^ {c} \ cup b）\ backslash c$是

$（a ^ {c} \ cap b）\ backslash c = \ {2,6,8,9,10 \} \ backslash \ {9,10 \} = \ {2,6,8 \}。\ _ \正方形$