二次残留

完全平方的整数很少;只有 $\ frac1 {\ sqrt {x}}$集合中的整数 ${1, 2, ldots, x \}$是完全平方数。另一方面，给定一个奇素数 $p$，是平方的整数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模" target="_blank">模 $p$相对较常见。事实上，事实证明正是如此一半之间的整数 $1$和 $p - 1$广场是国防部 $p$；也就是同余 $x ^ 2 \枚$国防部 $p$有一个解决方案 $x$正好是。的一半 $一个$在 ${1, 2, ldots, p-1 \}$．

如果 $一个$和 $米$那么互素是整数吗 $一个$被称为二次剩余模 $米$如果一致 $x ^ 2 \ \ pmod m枚$有一个解决方案。

同样地，如果它没有解，它就叫做a二次残留物模 $米$．

很自然的下一个问题是:“给定。 $米,$二次留模是什么 $m ?$这个问题及其答案在数论和密码学中引起了极大的兴趣。

求二次留模 $11$．

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当 $x = 0$， $X ^2 \bmod 11 = 0^2 \bmod 11 = 0$．
当 $x = 1$， $x^2 \bmod 11 = 1^2 \bmod 11 = \color{#20A900}1$．
当 $x = 2$， $x^2 \bmod 11 = 2^2 \bmod 11 = \color{#3D99F6$．
当 $x = 3$， $x^2 \bmod 11 = 3^2 \bmod 11 = \color{#EC7300$．
当 $x = 4$， $x^2 \bmod 11 = 4^2 \bmod 11 = \color{#624F41$．
当 $x = 5$， $X ^2 \bmod 11 = 5^2 \bmod 11 = \color{#318ce7}3$．
当 $x = 6$， $X ^2 \bmod 11 = 6^2 \bmod 11 = \color{#318ce7}3$．
当 $x = 7$， $x^2 \bmod 11 = 7^2 \bmod 11 = \color{#624F41$．
当 $x = 8$， $x^2 \bmod 11 = 8^2 \bmod 11 = \color{#EC7300$．
当 $x = 9$， $x^2 \bmod 11 = 9^2 \bmod 11 = \color{#3D99F6$．
当 $x = 10$， $x^2 \bmod 11 = 10^2 \bmod 11 = color{#20A900}1$．

所以二次留模 $11$是 $1、3、4、5、9$，非留数是 $2、6、7、8、10$． $_ \广场$

注意:同等于的数 $0 \ bmod p$既不是残基也不是非残基。

注意，上面着色的数字是按照……的顺序 $\{1、4、9、5、3、3、5、9、4、1 \}$．也就是说,

• 第一个数字和最后一个数字是平等的；
• 第二个数字和最后第二个数字是平等的；
• 第三个数字和最后一个数字是平等的，等等。

这是因为 $X ^2等于(-x)^2 \pmod p$．也就是前一半非零数的平方对其取余 $p$给出一个非零二次留模的完整列表 $p$．总的来说，我们有以下事实:

事实:如果 $p$是奇素数吗 $^ 0 ^ 2, 1 2 2 ^ 2, \ ldots \大(\压裂{p - 1} 2 \大)^ 2$是不同的，并给出一个模的二次留数的完整列表 $p$．所以有 $\压裂{p - 1} 2$残留物, $\压裂{p - 1} 2$非留数(注意，如上所述，我们不计算0)。

他们给出了一个完整的列表，因为 $x ^ 2$和 $(px) ^ 2$都是相同的mod $p$就像这个例子一样。要看清楚它们是不同的，请注意

$(x ^2-y^2)(x+y) (x+y) (x+y) (x+y) (x+y) (x+y)$

这是不可能的 $x$和 $y$是集合中两个不同的元素吗 $\left\{0,1,2， \ldots， \frac{p-1}2 \right\}$． $_ \广场$

让 $p$是一个质数。证明同余 $x ^ 2 + y ^ 2 + 1 \枚0$国防部 $p$总有解决办法 $(x, y)$．

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很明显 $p = 2$,所以假设 $p$是奇数。以上工作表明存在 $\压裂{p + 1} 2$的元素 $\ {0 1 \ ldots, p - 1 \}$可以写成 $x ^ 2$国防部 $p$因为同样的原因 $\压裂{p + 1} 2$的元素 $\ {0 1 \ ldots, p - 1 \}$可以写成 $1 y ^ 2$国防部 $p$．因为这两个子集的大小之和是 $p + 1$和 $\ {0 1 \ ldots, p - 1 \}$有 $p$元素，两个子集必须在某个地方重叠，即。

$x^2+y^2+1 \pmod p$

对于一些 $x, y$． $_ \广场$

上述结果恰好是证明拉格朗日著名定理的一个关键引理四个方块定理，即每个正整数都可以写成四个整数的平方和。(参见维基<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="平方和定理" target="_blank">平方和定理．）

用于计算二次留模的技术 $p$文章中都包含了什么<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德符号" target="_blank">勒让德符号．本节重点讨论一般的二次丢番图方程，包括模不是素数的情况。

对于二次丢番图方程，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/completing-the-square/" class="wiki_link" title="完全平方" target="_blank">完全平方往往是有帮助的。

确定是否存在整数 $x$这样 $37$分 $X ^2 - 31x + 34$．

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取37模，我们有

$X ^2 + 6x -3 = X ^2 + 6x + 9 - 12 = (X +3)^2 - 12。$

所以它有一个解当且仅当 $12$二次剩余模是多少 $37$．通过检查, $7 ^ 2 \ 12枚$国防部 $37$，则方程有解;设置 $x + 3 = 7$给了 $x = 4$作为他们中的一员。 $_ \广场$

复合模量为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chinese-remainder-theorem/" class="wiki_link" title="中国剩余定理" target="_blank">中国剩余定理是将问题分解为质数幂模的重要工具。

确定正整数的数目 $x$少于1000这样的时候 $x ^ 2$除以840，余数是60。

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换算成全等，我们有 $X ^2 \equiv 60 \pmod{840}$．把840分解成质数的乘积 $840=3\cdot 5\cdot 7\cdot 8$．

所以我们有 $X ^2 \equiv 0 \pmod 3, X ^2 \equiv 0 \pmod 5, X ^2 \equiv 4\pmod 7, X ^2 \equiv 4\pmod 8$．

前两个同余表示 $x ^ 2 \枚0$国防部 $15$．
解出另外两个同余就可以看出 $X \equiv \pm \ 2\pmod 7, X \equiv \pm \ 2\pmod 8$．

根据中国剩余定理， $X \equiv 2,26,30,54 \pmod{56}$和 $X \equiv 0 \pmod {15}$．
根据中国剩余定理， $X \equiv \pm 30， \pm 390 \pmod {840}$．

限制 $0 < x < 1000$,有 $5$解决方案: $X = 30 390 450 810 870$． $_ \广场$

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