二次方程
一个二次方程是一个多项式二阶方程。换句话说，它是一个形式为\(ax^2 + bx + c =0 \)的方程，其中\(a\)、\(b\)和\(c\)是实数，且\(a\neq 0\)。
分解法求解
主要文章:多项式因式分解
我们可以用因式分解来解二次方程零积性质。一般来说，我们可以将二次元重写为两个线性因子的乘积，使得\(ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q) \)根据零积的性质，
{如果}\ \[\文本ax ^ 2 + bx + c = (x + p) (x + q) = 0,{然后}\ \ \文本x = - p{或}\ \ \文本x = - q。\]
现在，要分解二次方程，请遵循以下步骤。
我们必须将(b) (x的系数)分解成两项，这样它们的和就是(b)它们的乘积就是(ac)
\ [ax ^ 2 + bx + c = 0 \意味着ax ^ 2 + (b_1 + b_2) x + c = 0 \文本{这样}b_1 + b_2 = b \文本{和}b_1、b_2 =交流。\]
接下来，我们需要将\(ax^2 + b_1x \text{和}b_2x+c\)分组，并将它们因式分解，使它们都有一个公因式。
现在我们把方程转化成因子。从现在开始，解决办法很简单。我们使用零积性质并将每个因子等同于\(0)，即\((x-\alpha)=0 \意味着x=\alpha\)和\((x-\beta)=0 \意味着x=\beta\)。
用因式分解的方法解出\(x\)的\(x²+5x+6=0\)
按照上面提到的步骤，我们首先将\(x\)的系数分解为两项，使它们的和等于\(5\)，它们的乘积等于\(1 \乘6=6\):\[x^2+(2+3)x +6=0，\]我们可以观察到\(2+3=5\)和\(2 \乘3=6\):\[\begin{align} x^2+2x+3x+6&=0 \\ x(x+2)+3(x+2)&=0。结束\{对齐}\]取出\ ((x + 2) \)作为一个共同因素,我们有\[\{对齐}(x + 3)开始(x + 2) & x + 3 & = 0 = 0 \ \ \意味着x = 3 x + 2 & = 0 \ \ \意味着x = 2。因此，给定方程的两个根是\(-3\)和\(-2\)。\ \(_ \广场)
二次方程的分解解法
步骤1。使给定方程不含分数和根号并将其化为标准形式\(ax^2+bx+c=0)
步骤2。将(ax^2+bx+c)分解成两个线性因子。
步骤3。令每个线性因子等于\(0\)(应用零积法则)。
步骤4。解这些线性方程，得到给定二次方程的两个根。
用因式分解的方法求解(x^2 - x - 6 =0)。
我们有\ [x ^ 2 - x - 6 = (- 3) (x + 2) \]使\ (x = 3 \)或\ (x = 2 \)。\ \(_ \广场)
注意，因子\(x ^2 - x- 6 \)是\(1,x^2 - x- 6, x-3，\)和\(x+2\)。
解方程\(x ^2+3x+2=0)求\(x\)
我们有\[\{对齐}开始x ^ 2 + 3 + 2 & = 0 \ \ x ^ 2 + 2 + x + 2 & = 0 \ \ x (x + 2) + 1 (x + 2) & = 0 \ \ (x + 2) (x + 1) & = 0。结束\{对齐}\],
\[开始\{}对齐文本(x + 2) = 0 \{或}(x + 1) = 0 \ \ x = 2 \文本{或}x = 1。\ _\square \end{align}\]
注意:我们不能总是用。来分解线性因子实数。对于某些二次方程，例如:，\( x^2 + 1 )\), the linear factors require复杂的数字:
\[x^2 + 1 = (x+i)(x-i) .\]
尝试以下问题:
从根求二次方程
当给定变量的两个位置时，我们必须将它们写成\(\text{(variable - value = 0)}\)的形式。
从根求方程:
步骤1。如果给定变量\(x\)，并且给定两个值\(x=a\)和\(x=b\)，那么我们必须将它们简化为\[x-a=0 \quad\text{和}\quad x-b=0。步骤2。将方程相乘并简化，我们得到:\[\begin{align} (x-a)(x-b)&=0\\ x^2 -(a+b)x+ab&= 0。结束\{对齐}\]
求根为\(2\)和\(-3\)的二次方程
考虑变量为\(x\)的方程，有:
\[开始\{对齐}x = 2 & \意味着(x - 2) = 0 \ \ x = 3 & \意味着(x + 3) = 0。\{对齐}结束\]相乘的方程,我们有\[\{对齐}开始(x - 2) (x + 3) & = 0 \ \ x (x + 3) 2 (x + 3) & = 0 \ \ x ^ 2 + 3 x-2x-6 & = 0 \ \ x ^ 2 + x 6 & = 0。\ _\square \end{align}\]
求根为\(5\)和\(6\)的二次方程
考虑变量为\(x\)的方程，有:
\[开始\{对齐}x = 5 \意味着x5 = 0 \ \ x = 6 \意味着x 6 = 0。将两个方程相乘得到\[\begin{align} (x-5)(x-6) & =0\\ x(x-6)-5(x-6) & =0\\
X ^2-6x-5x+30 & =0\\
X ^2-11x+30 & =0。\ _\square \end{align}\]
通过完成正方形来解决问题
主要文章:完成方块
对于二次多项式\(f(x) = ax^2 + bx +c\)，完成平方意味着找到这样的表达式
f(x) = a(x-b)^2 + c.\]
完成二次(x^2 + 8x + 10)的平方。
由于我们的中间项是8x，我们知道我们需要一个形式为(x+4)^2的完全平方，它展开成(x ^2 + 8x + 16)。
因此，我们可以这样做:
\[开始\{对齐}x ^ 2 + 8 x + 10 & = x ^ 2 + 8 x + 16 - 16 + 10 \ \ & = (x ^ 2 + 8 x + 16) - 6 \ \ & = (x + 4) ^ 2 6。\ _\square \end{align} \]
用平方补全法求解方程(2x^{2}+3x+1=0)。
先\(2 \)常见:\(左2 \ (x ^{2} + \压裂{3 x}{2} \右)+ 1 = 0 \)。因为我们的中间项是\(\frac 32x，\)我们知道我们需要一个完全平方的形式
左(x + \ [\ \ dfrac{3}{4} \右)^ 2 = x ^ {2} + \ dfrac {3 x} {2} + \ dfrac{9}{16} \]。
把整个方程写成
\[开始\{对齐}2 \离开(x + \ dfrac {3} 2 + \ dfrac {9} {16} - \ dfrac{9}{16} \右)+ 1 & 2 = 0 \ \ \离开(x + \ dfrac{3} 2 + \离开(\ dfrac{3}{4} \右)^ {2}- \ dfrac{9}{16} \右)+ 1 & 2 = 0 \ \ \离开(x + \ dfrac{3}{4} \右)^ {2}- \ dfrac{1}{8} & = 0 \ \ \离开(x + \ dfrac{3}{4} \右)^ {2}& = \ dfrac{1}{16}。结束\{对齐}\]
因此我们有
\[\{对齐}开始x + \ dfrac{3}{4} & = \ \下午dfrac {1} {4} \ \ \ Rightarrow x & = - \ dfrac{1},{2} \{或}\ \文本,x = 1。\ _\square \end{align}\]
二次公式求解
主要文章:二次方程
二次公式表明，对于方程\(ax^2 + bx + c =0 \)， \(x\)的值由下式给出:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}。\]
要看这个公式是如何通过完成平方推导出来的，见二次方程。
求出\(x\)的\(5x^2-2x-3=0\)
这里，\(a=5, b=-2, c=-3\)利用二次方程，我们得到
\[开始\{对齐}x & = \ dfrac {- b \ \下午sqrt {b 2 ^ 4 ac}} {2} \ \ & = \ dfrac{——(2)\ \下午√6{(2)^ 2 - 4×5×3}}{2×5}\ \ & = \ dfrac{2 \ \下午√{4 + 60}}{10}= \ dfrac{2 \ \下午√{64}}{10}\ \
& = \ dfrac{2 \下午8}{10}\ \ \ \ Rightarrow x & = -0.6,{或}\ \文本,x = 1。\ _\square \end{align}\]
求出x^2-4x+1。
这里，\(a=1, b=-4, c=1\)利用二次方程，我们得到
\[开始\{对齐}x & = \ dfrac {- b \ \下午sqrt {b 2 ^ 4 ac}} {2} \ \ & = \ dfrac{-(4) \ \下午√6{(4)^ 2 - 4×1×1}}{2×1}\ \ & = \ dfrac{4 \ \下午sqrt {16 4}} {2} = \ dfrac{下午4 \ \ sqrt {12}} {2} \ \ & = \ dfrac{4 \下午2×\√{3}}{2}\ \ \ Rightarrow x & = 2 + \ sqrt3 \{或}\ \文本,x = 2 - \ sqrt3。\ _\square \end{align}\]
求解\(x^2-20x-69 = 0\)
将值(a=1, b=-20, c=-69)代入二次方程，得到
\[开始\{对齐}x & = \ dfrac{-(-20)下午\ \√6{(-20)^ 2×4×-69}}{2×1}\ \ & = \ dfrac{20 \ \下午sqrt {400 + 276}} {2} \ \ & = \ dfrac{20 \ \下午倍根号{676}}{2}\ \ & = \ dfrac{26日下午20 \}{2}\ \ \ Rightarrow x & = 23 \{或}\ \文本,x = 3。\ _\square \end{align}\]
尝试以下问题:
抛物线
主要文章:抛物线
下面是一个说明上述内容的例子。
求顶点在\((0,0)\)的抛物线的方程，如果它的对称轴是\(y\)轴，并且它的图形包含点\(\左(\frac{-1}{2}， 2 \右)\)。
我们把抛物线的顶点形式写成y = A(x^2)。代入给定点的坐标求出A
\[开始\{对齐}2 & = \ \倍左(\ dfrac{1}{2} \右)^ 2 \ \ & = 8 \ \ \ Rightarrow y & = 8 x ^ 2。\ _\square \end{align}\]
尝试以下问题:
二次方程根的性质
二次方程的根的性质可以通过仔细观察二次方程来确定。它基本上由一个判别式组成，这个判别式实际上使公式有所不同，并导致两个根。
我们知道二次方程是
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \]
对于任何以标准形式写成的二次方程(ax^2+bx+c=0)二次方程的判别式D是
\ [b D = ^ 2-4ac, \]
在哪里
\[\begin{case} b^2-4ac \gt 0: & \text{两个不同的实根}\\ b^2-4ac=0: & \text{相等的实根}\\ b^2-4ac \lt 0: & \text{虚根}。结束\{病例}\]
确定下列两个二次方程的根的性质:
\[\begin{align} x^2+x-1&=0 \\ x^2-4 +4 &=0。结束\{对齐}\]
对于二次方程\(2x^2+x-1=0\):
由于\(a=2,b=1,c=-1，\) \[\begin{align} b^2-4ac & =1^2-4 \乘以2 \乘以-1\\ & =9 >0，\end{align}\]这意味着根是实数且不同的。对于二次方程\(x^2-4x+4=0\):
因为\(a=1,b=-4,c=4，\) \[\begin{align} b^2-4ac & =(-4)^2-4 \乘以1 \乘以4\\ & =0，\end{align}\]这意味着根是实数且重复的。\ \(_ \广场)
求下列二次多项式有重复根的值\(k\):
\ [x ^ 2 + 4 x + k。\]
我们知道，如果D=0，那么二次多项式有重复根。所以,
\[开始\ b{对齐}^ 2-4ac& = 0 \ \ (4) ^ 2 - 4 (1) (k) & = 0 \ \ k = 4。\ _\square \end{align}\]
证明方程\(x^2+dx-1=0\)对于\(d\)的所有实数都有实数和不同的根。
这里，\ (a=1, b=d，\)和\(c=-1\)。判别式是
\ [D = D ^ 2 - 4×1×1 = D ^ 2 + 4 \]。
因为d²是完全平方，所以它总是大于等于0。所以,
\ [D = D ^ 2 + 4 \组4。\]
因此，判别式总是大于\(0\)，这意味着这个方程对于任意实值\(d\)都有不同的实根。\ \(_ \广场)
字谜-基础
两年前，一个男人的年龄是他儿子年龄的平方的三倍。三年后，他的年龄将是他儿子年龄的四倍。找出他们现在的年龄。
设儿子现在的年龄为x。然后儿子两年前的年龄是x-2，他父亲两年前的年龄是3乘以(x-2)^2。这意味着父亲现在的年龄是\(\big[3x (x-2)^2\big]+2)，因此三年后他的年龄将是\(\big[3x (x-2)^2\big]+2 + 3= \big[3x (x-2)^2\big]+ 5。儿子3年后的年龄是x+3。
根据给定条件，下列成立:
\[开始\{数组}{rl} 3 (x - 2) ^ 2 + 5 & = 4 (x + 3) \ \ \ Rightarrow 3 x ^ 2-16x + 5 & = 0 \ \ \ Rightarrow (3 x - 1) (x5) & = 0 \ \ \ Rightarrow x & = \压裂13日5。结束\{数组}\]
如果\(x\) = \(\frac{1}{3}\)，那么儿子2年前的年龄将变为负数，这是不可能的。所以，这个儿子现在的年龄是x=5，这意味着这个男人现在的年龄是
\[开始\{对齐}3 \ * (x - 2) ^ 2 + 2 & = 3 \ *(5 - 2) ^ 2 + 2 \ \ & = 3 \ * 3 ^ 2 + 2 \ \ & = 3×9 + 2 \ \ & = 27 + 2 \ \ & = 29。\ _\square \end{align}\]
求两个数，它们的和为40，乘积为375。
设一个数为x。然后，根据第一个条件，第二个数为\(40-x\)。代入，第二个条件的值，我们得到
\[开始\{对齐}x(40倍)& = 375 \ \ 40 x ^ 2 & = 375 \ \ x ^ 2-40x + 375 & = 0 \ \ x ^ 2-25x-15x + 375 & = 0 \ \ x (* 25) -15 (* 25) & = 0 \ \ (x - 15) (* 25) & = 0 \ \ \ Rightarrow x = 15, x = 25。结束\{对齐}\]
因此，较小的数字是\(15\)，较大的数字是\(25\)。\ \(_ \广场)
两个连续正整数的乘积是90。它们的和是多少?
由于整数是连续的，我们可以将上面的表达式重写为n(n+1) = 90。这就得到了下面的二次方程:n^2 +n -90 = 0。因式分解，我们可以看到
\[n^2 +n -90 = (n -9)(n+10) =0， \]
这意味着，n = 9。然后这两个数是9和10，它们的和是19。\ \(_ \广场)
尝试以下问题:
双二次方程
有时，二次公式在求解较大次的方程时很有用。
求解(x^{4} - 3x^{2} + 1 = 0 \)
这个方程不是你想要分解的。你可以做替换，u = x^{2}。那么方程就是
\[u^{2} - 3u + 1 = 0]\]
我们可以用二次方程来解
\[u = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}。\]
但这还没完。我们想要x，而不是u。由于\(u = x^{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \)，求解该方程为\(x\)
\[x=\pm\sqrt{\dfrac{3 \pm\sqrt{5}}{2}}。广场\ _ \ \]