将笛卡尔坐标转换为极坐标

我们可以在平面上放置一个点笛卡儿坐标 $(x, y),$两条垂直线之间的距离:垂直线( $y$-轴)及水平线( $x$设在)。通过采用笛卡尔坐标，笛卡尔使学习代数几何成为可能。除了笛卡尔坐标，平面上点的另一种表示方式叫做极坐标．为了直观地理解它为什么被这样命名，我们可以考虑地球有两个极点:北极和南极。要在地球上找到一个地方，我们可以使用指南针。实际上，地球仪并不是一个平面，但是罗盘所读出的角度，尤其是站在一根杆子上时，可以提供很好的信息来到达那个地方。在飞机上，我们使用pair $(r,θ\ \)$作为极坐标 $r$从一个点(称为极点)和的距离是多少 $\θ$是有向直线的角度。通常，起源和 $x$在转换坐标时，分别选择-axis作为极点和有向线。

那么如何将笛卡尔坐标转换为极坐标呢?我们可以利用勾股定理和一个三角函数。也就是说, $R =根号{x^2 + y^2}$和 $\θ= \反正切{\压裂{y} {x}}。$然而，这是不够的，因为正切函数没有它的逆函数。在计算 $反正切,$角的定义域是 $\离开(- \压裂{\π}{2}\ \压裂{\π}{2}\右)。$因此，我们必须针对域外进行调整，即我们必须添加 $\π。$然后我们就有了整个角度范围 $\离开(- \压裂{\π}{2}\ \压裂{3 \π}{2}\右)。$总之，我们有 $R =根号{x^2 + y^2}$和 $病例\θ= \{\反正切{\压裂{y} {x}}和{如果}\文本x > 0, \ \ \ \ \反正切{\压裂{y} {x}}{如果}+ \π& \文本x < 0}。$

转换笛卡尔坐标 $(3、4)$到极坐标系下 $(r,θ\),$在哪里 $\θ$以弧度为单位，可逼近小数点以下两位数字。

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根据勾股定理 $R =√{3^2 +4^2}= 5。$通过正切函数，我们可以计算 $\θ$如下: $\θ= \反正切{\压裂{4}{3}}{(rad)} = 0.93 \文本。$

因此，我们的答案是 $(5 \ 0.93)。$ $_ \广场$

转换笛卡尔坐标 $(-12 5)$到极坐标系下 $(r,θ\),$在哪里 $\θ$以弧度为单位，可逼近小数点以下两位数字。

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根据勾股定理 $R =√{(-12)^2 +(-5)^2}= 13。$通过正切函数，我们可以计算 $\θ$如下: $\θ= \反正切{\压裂{5}{-12}}+ \π= 3.54 \文本{(rad)}。$

因此，我们的答案是 $(13日\ 3.54)。$ $_ \广场$

转换轨迹 $(x (t) \ y (t))$在极坐标下的轨迹 $(r (t) \θ(t)),$在哪里 $x = \ sqrt {t} \ cos {t}$和 $y = \ sqrt {t} \ {t}的罪。$

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根据勾股定理 $\{对齐}开始r (t) = & \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ \ = & \√6{\左\√{t} \因为{t} \右)^ 2 +左\ \√{t} \罪{t} \右)^ 2}\ \ = & \ sqrt {t} \离开((\因为{t}) ^ 2 +(罪\ {t}) ^ 2 \) \ \ = & \ sqrt {t}。结束\{对齐}$通过正切函数，我们可以计算 $\θ(t)$的情况下 $\因为{t} > 0:$ ${对齐}\θ= & \ \开始反正切{\压裂{\ sqrt {t} \罪{t}} {\ sqrt {t} \因为{t }}} \\ =& \ 反正切{\压裂{罪\ {t}}{\因为{t }}} \\ =& \ 反正切{\ tan {t}} \ \ = & t \{对齐}结束$

在这个案例中 $\因为{t} < 0:$ ${对齐}\θ= & \ \开始反正切{\压裂{\ sqrt {t} \罪{t}} {\ sqrt {t} \因为{t}}} + \π\ \ = & \反正切{\压裂{罪\ {t}}{\因为{t}}} + \π\ \ = & \反正切{\ tan {t}} + \π\ \ = & (t - \π)+ \π\ \ = & t。\{对齐}结束$

因此，我们的答案是 $(r(t)， \theta(t)) =(√{t}， \t)$ $_ \广场$