如果ax+by=ap+bq，必须有x=p y=q吗?

这是一个系列的一部分常见的误解．

真或假?

对于所有实数 ${\颜色{# 69047 e}},{\彩色b {# 69047 e}},{\颜色# D61F06} {x}, {{# 20 a900} \颜色y},{颜色\ p {# D61F06}}, {# 20 a900} \颜色q$,如果 $\颜色# 69047 e{}{\颜色# D61F06} {x} + \颜色{# 69047 e} {b} {{# 20 a900} \颜色y} = {# 69047 e}{一}\颜色颜色{\ p {# D61F06}} + {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {q}$,然后 ${\颜色# D61F06} {x} = {# D61F06} {p} \颜色$而且 ${{# 20 a900} \颜色y} = {{# 20 a900} \颜色q}。$

为什么有人说这是真的:观察方程的对称性。如果 ${\颜色# D61F06} {x} = {# D61F06} {p} \颜色$而且 ${{# 20 a900} \颜色y} = {# 20 a900} {q} \颜色$，那么这个方程显然是正确的。

为什么有人说这是错误的:我们有 $\开始{对齐}\颜色{# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} + \颜色{# 69047 e} {b} {{# 20 a900} y} \颜色& = \颜色{# 69047 e}{一}{颜色\ p {# D61F06}} + {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {q} \ \({\颜色{# 69047 e}} +{\彩色b {# 69047 e}})({\颜色# D61F06} {x} + {{# 20 a900} \颜色y}) & =({\颜色{# 69047 e}} +{\彩色b {# 69047 e}}) (p {# D61F06}}{\颜色+ {{# 20 a900} \颜色q}) \ \({\颜色# D61F06} {x} + {{# 20 a900} \颜色y}) & = (p {# D61F06}}{\颜色+ {{# 20 a900} \颜色q})。结束\{对齐}$因此，只要 $({\颜色# D61F06} {x} + {{# 20 a900} \颜色y}) = (p {# D61F06}}{\颜色+ {{# 20 a900} \颜色q})$，并不一定是这样 ${\颜色# D61F06} {x} = {# D61F06} {p} \颜色$而且 ${{# 20 a900} \颜色y} = {# 20 a900} {q} \颜色$．

该声明是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$．(但是上面的论点是为什么它是假的，也是完全不正确的。)

证明(声明是错误的):

这个命题声称这个代数逻辑成立对于任何实数 $A b x y p，$而且 $问$．因此，如果我们能找到哪怕一个反例,在那里 ${\颜色# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} + \颜色{# 69047 e} {b} {{# 20 a900} \颜色y} = {# 69047 e}{一}\颜色颜色{\ p {# D61F06}} + \颜色{# 69047 e} {b} {{# 20 a900} q} \颜色$是真的吗不的情况 ${\颜色# D61F06} {x} = {# D61F06} {p} \颜色$而且 ${{# 20 a900} \颜色y} = {# 20 a900} {q} \颜色$，那么我们就证明了这个说法是错误的。

下面是我们的反例:

如果我们将 ${\颜色{# 69047 e}} ={\彩色b {# 69047 e}} = {# 69047 e} \颜色0,$然后 $x, y, p, q$可以是任何实数。例如, ${\颜色# D61F06} {x} = {100} {# D61F06} \颜色,\,{{# 20 a900} \颜色y} = {{# 20 a900} \ \颜色π},\,{{# EC7300} \颜色p} = {1729} {# EC7300} \颜色,\,{{绿松石}\颜色q} ={{绿松石}1234}\颜色$给了

${\颜色{#69047E}0}只\颜色{#D61F06}100} + {69047E}0}只\颜色{#20A900}只\pi} ={\颜色{#69047E}0}只\时间{#69047E}0}只\颜色{#EC7300}1729} +{\颜色{#69047E}0}只\时间{\颜色{#蓝绿色}1234}。$

即使我们已经选择 $x, y, p,$而且 $问$这 $x \ neq p$而且 $y \ neq问$，上面的方程是正确的，因为 $0 + 0 = 0 + 0$．

此外，我们可以推断如果 $一个= 0,$然后我们肯定有 $y =问$但不一定是 $x = p$自 $x p$可以是任何实数。类似地,如果 $b = 0,$然后我们肯定有 $x = p$但不一定是 $y =问$自 $y,问$可以是任何实数。 $_ \广场$

考虑最后一种情况:if $\ neq 0$而且 $b \ neq 0$但 $a = b$，那么你能推断出什么呢 $x, y, p,$而且 $问吗?$

---

研究不同领域的方程:

在这一页中，我们感兴趣的是研究变量上的各种域约束如何影响其他变量可以取的值的范围。为了研究这一点，我们以不同的方式固定不同的变量集，然后检查其他变量的响应自由度。

下面是一个后续问题:

一个方程只有赋给相关变量的一些值集才能满足的条件。这个集合通常是变量自然域的一个限制。例如，方程 $3 x, y =$在哪里 $x$而且 $y$是实数，由无限个点满足，这些点在坐标平面上表示成一条直线。但如果你进一步了解 $y$是一个即使是整数，你能推断出什么 $x$？必须 $x$甚至还会吗?你的新知识关于什么 $y$影响什么值 $x$会承担吗?像这样的问题在两种语言中都很常见代数而且数论．

---

本页顶部的“证明”有什么问题使用取消 ${\颜色{# 69047 e}} {# 69047 e} + \颜色b$两边?

虽然它得出了正确的结论，但在这页的顶部的论点是完全无效的。考虑第一步:

${对齐}\颜色\开始{# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} + \颜色{# 69047 e} {b} {{# 20 a900} y} \颜色& = \颜色{# 69047 e}{一}{颜色\ p {# D61F06}} + {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {q} \ \({\颜色{# 69047 e}} +{\彩色b {# 69047 e}})({\颜色# D61F06} {x} + {{# 20 a900} \颜色y}) & =({\颜色{# 69047 e}} +{\彩色b {# 69047 e}}) (p {# D61F06}}{\颜色+ {{# 20 a900} \颜色q})。结束\{对齐}$

请注意, $({\颜色{# 69047 e}} +{\彩色b {# 69047 e}})({\颜色# D61F06} {x} + {{# 20 a900} \颜色y}) = \颜色{# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} + \颜色# 69047 e{}{一}{{# 20 a900} \颜色y} + \颜色{# 69047 e} {b}{\颜色# D61F06} {x} + {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {y}$，而不是 ${\颜色# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} + {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {y}$．因此，两个方程的左边不一样。

反驳我不认为这种情况 $a = b = 0$应该算，因为只有一种情况。

回复:这篇文章问的是这个推论是否成立所有实数 $A b x y p，$而且 $q。$实数的集合 $一个$而且 $b$等于0是定义域的一部分。

---

反驳如果它是假的，那么下面的证明是什么错误?

我们也可以用以下步骤重写这个方程:

$\开始{对齐}\颜色{# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} + {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {y} & = \颜色{# 69047 e}{一}{颜色\ p {# D61F06}} + {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {q} \颜色\ \ {# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} + \颜色# 69047 e {} {b} {{# 20 a900} y} \颜色——颜色(\ {# 69047 e}{一}{颜色\ p {# D61F06}} + \颜色{# 69047 e} {b} {{# 20 a900} \颜色q}) & = 0 \颜色\ \ {# 69047 e}{一}{\颜色# D61F06} {x} - {# 69047 e}{一}\颜色颜色{\ p {# D61F06}} + \颜色{# 69047 e} {b} {{# 20 a900} \颜色y}, {# 69047 e} {b} \颜色\颜色{# 20 a900} {q} \ \ & = 0{\颜色{# 69047 e}}({\颜色# D61F06} {x} -{\颜色p {# D61F06}}) +{\彩色b {# 69047 e}}({\颜色{# 20 a900} y}, {{# 20 a900} q} \颜色)& = 0。结束\{对齐}$

很明显 ${\颜色{# 69047 e}}({\颜色# D61F06} {x} -{\颜色p {# D61F06}}) +{\彩色b {# 69047 e}}({\颜色{# 20 a900} y}, {{# 20 a900} q} \颜色)= 0$当 ${\颜色# D61F06} {x} = {# D61F06} {p} \颜色$而且 ${{# 20 a900} \颜色y} = {# 20 a900} {q} \颜色$．

回复:这个证明是利用方程的对称性来证明不正确的代数步骤的一个常见例子。

另请参阅

• 常见的误解列表
• 分配率
• 简化表达式