多项式定理
多项式定理声明
多项式定理的证明
多项定理的例子-项的数目
多项式定理例子-特定的术语
另请参阅
引用:多项式定理。Brilliant.org.检索从//www.parkandroid.com/wiki/multinomial-theorem/
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多项式定理有两种证明,一种是用归纳的代数证明,另一种是用计数的组合证明。首先给出了代数证明。
继续进行的感应在 米.
当 k=1结果是真实的,当 k=2结果就是二项式定理。假设 k≥3.这个结果是正确的 k=p.当 k=p+1,
(x1+x2+⋯+xp+xp+1)n=(x1+x2+⋯+xp−1+(xp+xp+1))n.
治疗 xp+xp+1作为一个单独的术语,使用归纳假设,
b1+b2+⋯+bp−1+B=n∑(b1,b2,b3.,...,bp−1,Bn)j=1∏p−1xjbj×(xp+xp+1)B.
根据二项式定理,这就变成
b1+b2+⋯+bp−1+B=n∑(b1,b2,b3.,...,bp−1,Bn)j=1∏p−1xjbj×bp+bp+1=B∑(bpB)xpbpxp+1bp+1.
自 (b1,b2,b3.,...,bp−1,Bn)(bpB)=(b1,b2,b3.,...,bp+1n),这个可以写成
b1+b2+⋯+bp+1=n∑(b1,b2,b3.,...,bp+1n)j=1∏kxjbj.□
这是组合证明,它依赖于多项式的系数wiki。
考虑展开中的一项 (x1+x2+⋯+xk)n.它必须是形式的 α我=1∏kx我β我对于一些整数 α和非负整数 β我.因为每一项必须来自于选择一个求和 x1+x2+⋯+xk,我们必须有 β1+β2+⋯+βk=n.得到这一项的不同方法的个数就是选择的方法的个数 β1的副本 x1, β2的副本 x2,等等。由一个结果从多项式的系数维基,这就是 α=(β1,β2,...,βkn).□
确定的系数 一个2b4d在多项式的展开中 (3.一个+5b−2c+d)7.
展开中的一般项 (3.一个+5b−2c+d)7会是什么样的形式呢 (b1,b2,b3.,b47)(3.一个)b1(5b)b2(−2c)b3.(d)b4.有条件的 一个2b4d,我们需要 b1=2,b2=4,b3.=0,b4=1.这给了我们
(2,4,17)(3.一个)2(5b)4(d)1=4!2!1!7!(9一个2)(625b4)(d)=105(5625)一个2b4d=590625一个2b4d,
这意味着答案是590625。 □
求系数 t20在扩张中 (t3.−3.t2+7t+1)11.
展开式的一般项有这样的形式 (b1,b2,b3.,b411)(t3.)b1(−3.t2)b2(7t)b3.(1)b4.为了得到系数 t20,我们必须有 b1+b2+b3.+b4=11和 3.b1+2b2+b3.=20.我们可以写 b3.=20−2b2−3.b1和 b4=11−b1−b2−b3.=2b1+b2−9.
因此,系数就是和 b1,b2≥0∑(b1,b2,20−2b2−3.b1,2b1+b2−911)这样 2b2+3.b1≤20和 2b1+b2≥9.
我们可以把它计算为 −7643.4723.42. □
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