多项式的系数

多项系数是的推广二项式系数，用类似的组合解释。它们是多项式幂的展开式中的项的系数，在多项式定理．

多项式系数和二项式系数一样，有几种组合解释。

让 $b_1、\ ldots b_k$非负整数，让 $n = b_1 + b_2 + \ cdots + b_k$．多项式的系数 $\ binom {n} {b_1、b_2 \ ldots b_k}$是:

(1)摆放方式的数量 $n$可互换的对象 $k$盒子，就是那个盒子 $我$有 $b_i$对象在其中，for $1\le我\le k$．

(2)选择方式的数量 $b_1$可互换的对象 $n$对象，则要选择 $b_2$从剩下的东西中，然后做出选择 $b_3$从剩下的东西来看，……，然后选择 $b_ {k - 1}$从剩下的。

(3)一个单词的唯一排列数 $n$字母和 $k$不同的字母，这样 $我$th信发生 $b_i$次了。

(4)产品 $\ binom {n} {b_1} \ binom {n-b_1} {b_2} \ binom {n-b_1-b_2} {b_3} \ cdots \ binom {b_ {k - 1} + b_k} {b_ {k - 1}} \ binom {b_k} {b_k}。$

(5)商 $\压裂{n !} {b_1, b_2 !\ cdots b_k !}。$

(1)和(2)显然是等价的，并且(2)和(4)从二项式系数的定义来看是等价的。(4)和(5)用简单代数等价。有几种方法可以看出(3)与其他的是等价的。从组合的角度来看，请注意如(3)所示的单词的排列对应于将每个重复字母放入的位置的选择;离开这些地方 $1 \ ldots n$,选择 $b_1$放第一个字母的位置，那么 $b_2$其余的都是 $n-b_1$把第二个字母放进去，等等。所以(3)等价于(2)

(人们也可以直接计数排列，通过取 $n !$排列和除以造成重复的因子:除以的因子 $b_1 !$为了解释排列所有首字母不改变排列的事实，除以 $b_2 !$对第二个字母做同样的操作，以此类推，得到(5)的公式。

ABRACADABRA这个词有多少种独特的排列方式?

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解决方案:利用定义(3)，这是多项系数 $\ binom{11}{5、2、1、1、2}= 83{}160。$

对于一个固定的 $n$而且 $k$所有多项系数的和是多少 $\ binom {n} {b_1、b_2 \ ldots b_k}$?

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根据定义(1)，这是放置方式的数量 $n$对象进 $k$方框(每个特定的多项系数给出了每个方框中有多少对象的不同细分)。每个对象都有 $k$选择它的目的地，所以总数是 $K \cdot K \cdot K \cdots \cdot K = K ^n$．

方法提供了一个不同的解决方案多项式定理；详见维基百科。

多项式系数是展开项的系数 $(x_1 + x_2 + \ cdots + xk) ^ n$；的系数 $X_1 ^{b_1} x_2^{b_2} \cdots x_k^{b_k}$是 $\ binom {n} {b_1、b_2 \ ldots b_k}$．这是多项式定理．