平均值定理

的中值定理(MVT)，又称拉格朗日的平均值定理（LMVT），提供了一个相当直观的表述，将函数的变化与其导数的行为联系起来的正式框架。定理说明了连续可微函数的导数必须达到函数的平均变化率(在给定的区间内)。例如，如果一辆汽车在2小时内行驶了100英里，那么它在某个时间点的准确速度一定是每小时50英里。

平均值定理

假设一个函数 $f$是

1. 闭区间上连续的 $[a, b],$和
2. 开区间上可微的 $（a，b）。$

然后，有一个数字 $c$这样 $一个< c < b$和 $f'（c）= \ frac {f（b）-f（a）} {b-a}。$

虽然听起来很简单，但中值定理实际上是证明<一个人力资源ef="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-calculus/" class="wiki_link" title="微积分的基本定理" target="_blank">微积分的基本定理，并且本身基于真实数字的属性。有一个略有的泛化，称为Cauchy的平均值定理;对于更高衍生物的概括，见<一个人力资源ef="//www.parkandroid.com/wiki/taylors-theorem-with-lagrange-remainder/" class="wiki_link" title="泰勒的定理" target="_blank">泰勒的定理．

在检查一个例子或两者时，声明似乎合理。以下， $f'（c）$是间隔中切线的斜率 $（a，b）$， 和 $\ frac {f（b）-f（a）} {b-a}$连接两个端点的割线的斜率是多少 $\ big（a，\，f（a）\ big）$和 $\大(b \ f (b) \大)$．

请注意，平均值定理不会限制 $c$只有一个值，它也不告诉我们在哪里 $c$是(不在区间内)。

还要注意 $f$不需要在端点处是可微的。两个例子足以说明这一点: $f（x）= \ sqrt {1-x ^ 2}$在 $[-1,1]$和 $f（x）= \ arcsin x$在 $[-1,1]$．

中值定理的最好理解是首先研究一种被称为<一个人力资源ef="//www.parkandroid.com/wiki/rolles-theorem/" class="wiki_link" title="罗勒的定理" target="_blank">罗勒的定理．

罗尔定理

假设一个函数 $f$上是连续的 $[A，B]$,可微的 $(一,\ b)$,这 $f（a）= f（b）$．然后，有一个数字 $c$这样 $一个< c < b$和 $f'（c）= 0$．

换句话说，如果函数在两个点处具有相同的值，则它必须在这些点之间的某个位置“级别”。通过考虑在第一点之后函数是否立即增加或减少，如果函数要返回相同的值，则清楚地明确表示任何选项可以无限期地继续;因此，在下一点发生之前必须存在局部最大值或最小值。

通过简单地歪斜函数的图表，Rolle的定理迅速进入平均值定理。

让一切都像上面的定理陈述一样。

定义一个新功能 $h$随着差异 $f$和通过点的线 $\ big（a，f（a）\ big）$和 $大(b, f (b) \ \大)$．这条线有方程

$y-f(a)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) \implies y= f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a).$

因此,函数 $h$有等式

$h (x) = f (x) - f (a) - \ dfrac {f - f (a) (b)} {b} (x)。$

下一个，<一个人力资源ef="//www.parkandroid.com/wiki/rolles-theorem/" class="wiki_link" title="罗勒的定理" target="_blank">罗勒的定理是有用的。这个函数 $h$满足定理的条件:

1. 这个函数 $h$上是连续的 $[A，B]$因为这是总和 $f$和一次多项式，它们都是连续的。

2. 函数是可微的 $（a，b）$因为两者 $f$并且第一度多项式是可微分的。事实上，我们可以直接计算它： $h (x) = f (x) - \压裂{f - f (a) (b)} {b}。$

3. $h（a）= h（b）。$

通过Rolle的定理，存在一个值 $c$在 $（a，b）$这样 $h'（c）= 0$．因此,

$h”(c) = f (c) - \ dfrac {f - f (a) (b)} {b} = 0 \意味着f (c) = \ dfrac {f - f (a) (b)} {b}。\ _ \广场$

确定所有数字 $c$满足平均值定理的结论 $f（x）= x ^ {3} + 2x ^ {2} + x$的时间间隔 $[-2,2]$．

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观察到 $f (x)$是一个在任何区间上连续可微的多项式，所以中值定理适用。事实上，我们可以计算出来 $f (x) = 3 x ^ 2 + 4 x + 1$，平均变化率为

$\ frac {f（b）-f（a）} {b-a}＝\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)} = \frac{18 - (-2)}{4} = 5.$

我们想要找到价值 $c$这样 $f (c) = 5:$

$\开始{对齐}3 c ^ {2} + 4 c + 1 & = 5 \ \ 3 c ^ {2} + 4 c - 4 = 0 \ \ (c + 2) (3 c - 2) & = 0 \ \ c = 2, ~ \压裂{2}{3}。结束\{对齐}$

请注意, $c = -2$中值定理是否保证了另一个端点 $c$在内部，我们确实有 $c = \压裂{2}{3}$． $_ \广场$

汽车从休息区出发，行驶一段距离 $10 \文本{公里}$在 $30 \文本{分钟}$．使用平均值定理来表明汽车达到速度 $20 \文本{公里/小时}$在间隔期间的某个点。

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中值定理说，汽车的平均速度(切线的斜率)等于区间内某一点的瞬时速度(切线的斜率)。

平均速度是

$\ frac {\ delta y} {\ delta x} = \ frac {10 \ text {km} -0} {0.5 \ text {hr} -0} = 20 \ text {km / hr}。$

从中值定理，我们可以找到 $c$在这样的间隔中

$f (c) = \压裂{dx} {dt}{公里/小时}= 20 \文本。\ _ \广场$

假设 $f (x)$是所有的可差异功能 $x$．如果 $f (x) \ leq 7$对所有 $x$和 $F（2）= - 4$，最大值是多少 $F（5）？$

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自从 $f (x)$在所有区间上都是可微的，我们可以选择任意两点。根据中值定理，我们得到

$\ begin {对齐} \ frac {f（5）-f（2）} {5-2} = f'（c）＆leq 7 \\ \ frac {f（5） - （ - 4）} {3}＆\ Leq 7 \\ F（5）＆leq 17. \结束{对齐}$

所以可能的最大值 $f (5)$是 $17$． $_ \广场$

考虑到 $f (x)$是一个任意二次多项式：

$f（x）= kx ^ {2} + lx + m \ quad（k \ neq 0），$

证明这一点 $c$其存在的平均值定理保证是间隔的中点 $[A，B]$．

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根据中值定理，我们得到

$\begin{aligned} f'(c)&=\frac { f(b)-f(a) }{ b-a } \\ 2Kc+L &=\frac { \left(K{ b }^{ 2 }+Lb+M\right)-\left(K{ a }^{ 2 }+La+M\right) }{ b-a } \\ &=\frac { K(b-a)(b+a)+L(b-a) }{ b-a } \\ &=K(b+a)+L\\ 2c&=b+a\\\\ \Rightarrow c&=\frac { b+a }{ 2 }. \ _\square \end{aligned}$

是否存在函数 $f (x)$这样 $f (0) = 1$， $F（2）= 4$和 $f (x) \ leq 2$对所有 $x ?$

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如果存在这样的功能，则从平均值定理中存在一个数字 $c$这样 $0$和

$f'（c）= \ FRAC {F（2）-F（0）} {2-0} = \ FRAC {5} {2}。$

但这是不可能的，因为假设 $f (x) \ leq 2$．因此，这种功能是不存在的。 $_ \广场$

平均值定理的名称可能需要一些解释。对于一个功能 $f (x)$在一个间隔 $[A，B]$，不一定是连续的，可以定义它平均值或者通过公式的“平均”

$文本\{意味着}(f) = \ dfrac {1} {b} \ displaystyle \ int_{一}^ {b} f (x) \, dx,$

当然提供了（riemann）积分的存在。原因很简单：积分给出曲线下的区域 $y = f（x）$并且除以间隔的长度将产生“平均”函数的高度 $一个$和 $b$．在图片中，我们必须有曲线的部分 $y = f（x）$超越平均值，部分下面。如果 $f (x)$是连续的，那么它必须在某个点交叉平均值。这是“原始”平均值定理。

积分的中值定理

如果 $f (x)$上是连续的 $[A，B]$，那么存在一个点 $c$之间 $一个$和 $b$这样

$x = x, x = x, x = x, x = x, x = x, x = x。$

这与(实际的)中值定理有什么关系，除了不确定性的表象之外 $c$？好吧，如果 $f（x）$是一个反对的 $f (x$)，微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)使方程左边等于 $f（b） - f（a）$，所以我们有

$\ FRAC {F（b）-f（a）} {b-a} = f（c）= f'（c）。$

这正是平均值定理，但是对于 $f（x）$．

然而，这并不算中值定理的真正证明。首先，微积分基本定理的证明实际上依赖于中值定理。其次,在这里 $f（x）$确实是连续的 $[A，B]$和微弱的 $（a，b）$，但其导数进一步要求是连续的，这样黎曼积分才能存在。我们可以构造可微的函数(虽然有些特别)，但它的导数在某一点上不是连续的，在某种程度上使它不能(黎曼)可积。

我们也可以用中值定理来证明某些不等式。

使用均值定理来证明这一点 $\ ln（x + 1）$为 $x> 0。$

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假设函数是 $f（t）= \ ln（t + 1） - t$．请注意, $t$只是我们将要使用的哑变量吗 $x$在我们的选择区间。现在,鉴于 $f (t)$在间隔中定义，连续，和可差 $[0, x]$，通过中值定理，我们可以看到

$\{对齐}开始f (c) & = \压裂{f (x) - f (0)} {x - 0} \ \文字为}{c在(0,x) \ \ \ \压裂{1}{c + 1} - 1 & = \压裂{\ ln (x + 1) - x} {x}。结束\{对齐}$

通过观察，我们知道 $C + 1 > 1，$所以它如此 $\ frac {1} {c + 1} <1$．因此， $\frac{1}{c + 1} - 1 < 0$．

这告诉我们 ${ln(x+1) - x}{x} < 0 \表示ln(x+1) < x$为 $x> 0. \ _ _ \ square$

• 极值定理
• 中间价值定理
• 罗尔定理
• 微积分的基本定理
• 泰勒定理(含拉格朗日余数)