中值定理

这个介值定理声明如果连续函数获得两个值时，它也必须获得这两个值之间的所有值。直观地说，连续函数是图表“不用从纸上取下铅笔”就能画出来。例如,如果 $f (x)$ (x)是连接点的连续函数吗 $[0,0]$ 0,0]和 $(5、20)$ 5.,2.0]那么一定有一些 $x_a$ A.之间的 $0$ 和 $5.$ 在哪里 $y = 1,$ =1.,也有一些 $x_b$ B在哪里 $y=19$ =1.9,另一个 $x_c$ C在哪里 $y = \压裂{19}{5}$ =5.1.9等。对于这个函数，有 $x \ [0 5)$ ∈[0,5.]无论如何 $Y$ 值之间 $0$ 和 $20.$ 0．

中值定理

两个人实数 $A.$ 具有 $a$ <B,让 $F$ 是闭区间上的连续函数 $[a，b]。$ A.,B]．然后对每一个 $y_0$ 0之间的 $f (a)$ (A.)和 $f（b），$ (B),存在一个数字 $从\ [a, b]中$ 0∈[A.,B]具有 $f（x_0）=y_0$ (x0)=Y0．

$获得\（f（A）\）和\（f（b）\）值的连续函数也会获得两者之间的所有值。GYDF4y2Ba$ 获得这些值的连续函数 $f (a)$ (A.)和 $f（b）$ (B)也可以得到介于两者之间的所有值。

证明的思想是这样的，取这两点 $\大的（a，f（a）\big$ A.,F(A.))和 $\大（b，f（b）\big$ B,F(B))在连续函数的图上 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ :[A.,B]→R如上图所示，这些点标定了连接两个点的图形段。由于该段中没有孔或断点（通过函数的连续性），因此必须通过每个“水平曲线” $y = c,$ =C,在哪里 $\最小\big（f（a），f（b）\big）\le c\le\max\big（f（a），f（b）\big）$ (F(A.),F(B))≤C≤最大值(F(A.),F(B))．
GYDF4y2Ba请注意 $从$ 0定理所保证的不一定是唯一的；这个定理意味着至少有一个 $从$ 0这样 $f(从)= y_0,$ (x0)=Y0,但可能不止一个，取决于 $F$ 和 $y_0)$ 0．

目录

 常见的误解

 例子和应用程序

 中值定理的证明

常见的误解

定理的陈述有多个要求，所有这些都是结论成立所必需的。下面是一个示例：

函数的 $F (x) = x^2 - frac{9}{x} + 1$ (x)=x2.−x9+1.，中间值定理在下列哪个区间保证根：
$\开始{数组}{c} & \[3, 1 \], & \[1 \],离开左& \[1,3 \]吗?结束\{数组}$ −3.,−1.],[−1.,1.],[1.,3.]？

为了让中间值定理保证在指定的区间上有根 $左右\ [a, b \]$ A.,B]，不仅必须功能 $F$ 在区间上是连续的，但0必须包含在中间 $f (a)$ (A.)和 $f（b）。$ (B)．让我们检查 $(3), f (1), f (1),$ (−3.),F(−1.),F(1.),和 $f（3）：$ (3.):

$c \开始{数组}{}f (3) = 13, f (1) = 11, f (1) = 7, f(3) = 7。结束\{数组}$

对于第一个区间 $左右\ [3 - 1 \],$ −3.,−1.],返回的值 $F$ 两者都是正的，哪一个呢不三明治0，意味着中间值定理不能保证有根。
GYDF4y2Ba对于第二个音程 $\左[-1，1\右]，$ −1.,1.],返回的值 $F$ 在0的任意一边，这似乎表明 $F$ 在间隔上有根 $\左[-1，1\右]。$ −1.,1.]．然而，值得注意的是 $f (x)$ (x)有不连续点在 $x = 0,$ =0,这意味着中间值定理不成立。的确 $f (x)$ (x)没有 $x$ - interval上的截距 $\左[-1，1\右]。$ −1.,1.]．

最后一段时间 $左\ [1,3 \],$ 1.,3.],返回的值 $F$ 是在0的任意一边，这意味着 $F$ 在间隔上有根 $左\[1,3 \]。$ 1.,3.]．中间值定理证实了这一点，因为 $F$ 是连续的 $左\[1,3 \]。$ 1.,3.]． $_ \广场$

f（x）的图

例子和应用程序

如上例所示，中间值定理(以下简称IVT)的一个简单而重要的用途是证明某些方程是有解的。考虑下面的例子:

这个方程 $\cos x=x$ x=x解决方案(年代) $x \ \ mathbb {R}$ ∈R？如果有，它有多少个解?

我们研究函数 $f（x）=x-\cos x$ (x)=x−余弦x．请注意, $F (0) = -1 < 0$ (0)=−1.<0和 $F () = + 1 > 0$ (π)=π+1.>0因此，通过IVT，必须有一些 $[0\pi]中的y\n$ ∈[0,π]这样 $f (y) = 0$ (Y)=0,即 $y=\cos y$ =余弦Y．
GYDF4y2Ba方程的一个根已经确定。这是唯一的根吗？注意 $f'（x）=1+\sinx$ ′(x)=1.+罪x是不是处处都是非负的 $F$ 是单调增加。因此, $F$ 只能有一个根。 $_ \广场$

有解决方案吗 $X ^5 - 2x ^3 - 2 = 0，$ 5.−2.x3.−2.=0,在哪里 $x \[0, 2]吗?$ ∈[0,2.]？

在 $x = 0$ =0,我们有 $0^5 -2乘以0^3 -2等于-2。$ 5.−2.×03.−2.=−2.．
在 $x = 2$ =2.,我们有 $2^5 - 2 \乘以2^3 - 2 = 14。$ 5.−2.×2.3.−2.=1.4.．

所以IVT意味着有一个解 $X ^5 - 2x ^3 - 2 = 0$ 5.−2.x3.−2.=0在这一期间 $(0, 2)$ 0,2.]． $_ \广场$

假设 $F$ 是连续的 $[0, 1]$ 0,1.]和 $f（0）=f（1）$ (0)=F(1.)．让 $N$ 是任意正整数，然后证明存在某个数 $x$ 这样
$F (x) = F \左(x +\dfrac{1}{n}\右)。$ (x)=F(x+N1.)．

定义 $g（x）=f（x）-f\左（x+\frac{1}{n}\右）$ (x)=F(x)−F(x+N1.)．
GYDF4y2Ba考虑这组数字 $S=\left\{f（0），f\left（\frac{1}{n}\right），f\left（\frac{2}{n}\right），\ldots，f（1）\right\}$ ={F(0),F(N1.),F(N2.),…,F(1.)}．
GYDF4y2Ba让 $K$ 是这样的, $f \离开(\压裂{k} {n} \右)$ (NK)是世界上最大的数字 $s$ ．假设 $k \ ne 0$ =0和 $k \ n ne$ =N．
GYDF4y2Ba然后 $g\left（\frac{k}{n}\right）=f\left（\frac{k}{n}\right）-f\left（\frac{k+1}{n}\right）\geq 0$ (NK)=F(NK)−F(NK+1.)≥0, $左(g \ \压裂{k - 1} {n} \右)= f \离开(\压裂{k - 1} {n} \右)- f \离开(\压裂{k} {n} \) \ leq 0$ (NK−1.)=F(NK−1.)−F(NK)≤0．
GYDF4y2Ba根据中间值定理，有 $左c \ \[\压裂{k - 1} {n} \压裂{k} {n} \正确)$ ∈[NK−1.,NK]具有 $g (c) = 0$ (C)=0,所以 $F (c) - F \left(c + \frac{1}{n}\right) = 0$ (C)−F(C+N1.)=0,或 $f（c）=f\left（c+\frac{1}{n}\right）$ (C)=F(C+N1.)如所愿。
GYDF4y2Ba最后，如果最大的数字在 $s$ 是 $f（0）=f（1）$ (0)=F(1.)，则相同的论点适用于 $K$ 选择这样 $f \离开(\压裂{k} {n} \右)$ (NK)是中的最小数字吗 $s$ ． $_ \广场$

注意,如果 $f (0)$ (0)是世界上最大和最小的数字 $s$ ，那么它们都是一样的 $f (0) = f \离开(\压裂{1}{n} \右)$ (0)=F(N1.)．

假设 $F$ 是连续的 $[0, 1]$ 0,1.]和 $f（0）=f（1）$ (0)=F(1.)．让 $\ varepsilon$ 为超实单位，然后证明存在某个数 $x$ 这样
$F (x) = F左(x + varpsilon右)$ (x)=F(x+ε)．

首先,假设 $f (x)$ (x)不是恒定不变的 $[0,1]$ 0,1.]．如果是，结果就简单地保持不变。
GYDF4y2Ba然后,让 $g (x) = f (x) - f (x + \ varepsilon)$ (x)=F(x)−F(x+ε)

自 $F$ 是不是不变，存在一个 $c\in[0,1]$ ∈[0,1.]这样 $f（c）$ (C)是最大值(或最小值，但现在假设它是最大值;min的处理方式类似)。
GYDF4y2Ba然后 $g（c）=f（c）-f（c+\varepsilon）\geq 0$ (C)=F(C)−F(C+ε)≥0和 $G (c-\varepsilon) = f(c-\varepsilon) - f(c) \leq 0$ (C−ε)=F(C−ε)−F(C)≤0

现在，根据中间值定理，如果 $\ varepsilon > 0$ >0，存在一个 $y \ [c - \ varepsilon c]$ ∈[C−ε,C]这样 $g（y）=0$ (Y)=0．
$($ 如果 $\varepsilon < 0, y\in[c,c- varepsilon]$ <0,Y∈[C,C−ε]相反 $)$

因此, $f (y) = f (y + \ varepsilon)$ (Y)=F(Y+ε)，如所需。
GYDF4y2Ba如果 $\ varepsilon = 0$ =0, $F (x) = F (x+ varepsilon$ (x)=F(x+ε)∀x． $_ \广场$

I, II，和III 一、三第二和第三二、三、四

以下四种说法中，哪一种是正确的？
我方程式 $x^4-3x+1=0$ 4.−3.x+1.=0有一个独特的真正的解决方案。
2方程式 $sin x = x$ x=x有一个独特的真正的解决方案。
3方程式 $3x^5 - 20x^3 + 60x +16=0$ x5.−2.0x3.+6.0x+1.6.=0有一个独特的真正的解决方案。
四,。方程式 $tan x = x$ x=x有一个独特的真正的解决方案。

是的没有

实值函数 $F$ 据说有中间值属性如果每 $[甲,乙]$ A.,B]在 $F$ ，对于每一个
$x \ \[大\敏\大f (f (a)、(b) \大),\马克斯\大f (f (a)、(b) \大)\]大,$ ∈[最小值(F(A.),F(B)),最大值(F(A.),F(B))],

存在一些 $c \ [a, b]$ ∈[A.,B]这样 $f (c) = x$ (C)=x．
GYDF4y2Ba中间值定理说明，如果 $F$ 是连续的,那么 $F$ 具有中间值属性。这个定理的逆命题是正确的吗?也就是说，如果一个函数具有中间值性质，那么它在定义域上一定是连续的吗?

由于IVT可以检测函数的零点，因此它是分析连续函数的重要工具。然而，通过一些巧妙的曲解，IVT可以给出更令人印象深刻的结果。例如，可以证明Borsuk-Ulam定理在维度1中。这个定理表明，对于任何连续实值函数 $F$ 在一个圆上，有一些点 $P$ 在圆上这样做 $F$ 取相同的值 $P$ 在圆上与 $P$ $($

这意味着在地球的任何大圆上，任何连续变化的信息将在某些对映点上具有相同的值。例如，赤道上一定存在两个空气温度相同的对映点。

让 $S ^ 1$ 1.表示圆，假设 $f: S^1 \to \mathbb{R}$ :s1.→R是一个连续函数。然后，就存在了 $\ mathbf {x} \ S ^ 1$ ∈s1.这样 $f (\ mathbf {x}) = f (- \ mathbf {x})$ (x)=F(−x)．
注：在这里，按圆圈 $S ^ 1$ 1.，我们指的是向量的集合 $R \ mathbb {} ^ 2$ 2.长度精确地1。换句话说, $S ^ 1$ 1.是点的集合吗 $（x，y）\in\mathbb{R}^2$ x,Y)∈R2.这样 $X ^2 + y^2 = 1$ 2.+Y2.=1.．

有一个函数 $p: [0,2\pi) \到S^1$ :[0,2.π)→s1.给出的 $p（\theta）=（\cos\theta\sin\theta）$ (θ)=(余弦θ,罪θ). 用 $F$ 给了 $g:= f\circ p: [0,2\pi) \to \mathbb{R}$ :=F∘P:[0,2.π)→R. 定义函数 $h:[0, 2 \π)\ \ mathbb {R}$ :[0,2.π)→R通过
$h（\theta）：=g（\theta+\pi）-g（\theta），$ (θ):=G(θ+π)−G(θ),

我们把 $\θ+\pi\pmod{2\pi}$ +π(MoD2.π)如果 $\θ>\pi$ >π．
GYDF4y2Ba请注意,
$h（0）=g（\pi）-g（0）=-\big（g（0）-g（\pi）\big）=-h（\pi）。$ (0)=G(π)−G(0)=−(G(0)−G(π))=−H(π)．

特别地， $h (0)$ (0)和 $h(\π)$ (π)有相反的迹象。因此，通过IVT，有一些 $在(0,t \ \π)$ ∈(0,π)这样 $h (t) = 0$ (T)=0. 这意味着 $g（t+\pi）=g（t）$ (T+π)=G(T)．
GYDF4y2Ba让 $\mathbf{x}=（\cos t，\sin t）$ =(余弦T,罪T). 自从 $p（t+\pi）=-\mathbf{x}$ (T+π)=−x，我们得出结论
$f（-\mathbf{x}）=g（t+\pi）=g（t）=f（\mathbf{x}）$ (−x)=G(T+π)=G(T)=F(x)

如所愿。 $_ \广场$

是的没有

任何死亡是用一些多面体来建模的。如果多面体是完全对称的从某种意义上说，任何面都可以通过刚性运动移动到其他面，那么这个骰子就会公平的当模具滚动时，在任何面上着陆的概率将等于在任何其他面上着陆的概率。
GYDF4y2Ba是否存在不完全对称的公平骰子？
提示:从棱镜开始 $P$ 谁的横截面是规则的 $N$ -gons。现在考虑二重的多面体 $P ^{\明星}$ ⋆，其顶点为原始棱柱面中心的多面体。这 $P ^{\明星}$ ⋆看起来像两个有规则的金字塔 $N$ -gon的横截面，在它们的底部被粘在一起。现在，你可以修改 $P ^{\明星}$ ⋆获得一个不完全对称的公平骰子？

中值定理的证明

中间值定理的一个标准证明使用最小上界性质的每个非空子集 $\马瑟布R$ 具有上界的具有最小上界。这是一个重要的属性，有助于描述实数。注意，有理数没有最小上界属性 $\大的($ 例如，所有小于的有理数的集合 $大概{2}\ \大)。$ )．有关此属性的讨论，请参阅下确界/上确界维基。这里用最小上界的性质证明了中值定理。

让 $f \冒号[a,b] \to {\mathbb R}$ :[A.,B]→R它是一个连续函数。允许 $Y$ 在…之间 $f (a)$ (A.)和 $f（b）。$ (B)．假设在不失去普遍性的情况下 $f (a) \ f (b),$ (A.)≤F(B),并考虑
$S = [a,b] \冒号f(z) \le y \text{for all} z \in [a,x] \big\}。$ ={x∈[A.,B]:F(Z)≤Y对所有Z∈[A.,x]}．

然后 $s$ 从那时起就不是空的了 $a \在S中，$ ∈s,它有一个上界 $($ 即 $b） ,，$ ),所以有一个最小上界。称之为最小上界 $C$ ．

假设 $f (c) > y。$ (C)>Y．那就让我 $= f(c) - y > 0。$ =F(C)−Y>0．通过连续性，有一个 $\δ> 0$ >0这样 $|得到| < \三角洲$ x−C∣<δ意味着 $| f (x) - f (c) | < \ε。$ F(x)−F(C)∣<ϵ．但 $| f (x) - f (c) | < \ε$ F(x)−F(C)∣<ϵ意味着 $f（x）>y$ (x)>Y对所有 $x$ 在这个范围内，所以没有 $x$ 在这个范围内的是什么 $年代。$ ．所以 $c - \δ$ −δ的上界是 $s$ 同时，这也是一个矛盾的“最小”的 $C$ ．

假设 $f (c) < y$ (C)<Y．那就让我 $\ε=y-f（c）>0。$ =Y−F(C)>0．通过连续性，有一个 $\增量>0$ >0这样 $|得到| < \三角洲$ x−C∣<δ意味着 $| f (x) - f (c) | < \ε。$ F(x)−F(C)∣<ϵ．但 $| f (x) - f (c) | < \ε$ F(x)−F(C)∣<ϵ意味着 $f（x）$ (x)<Y对所有 $x$ 在这个范围内，所以 $x$ 在这个范围内 $年代。$ ．比如 $x = c + \压裂{\三角洲}2$ =C+2.δ是在 $s$ ，这是一个矛盾 $C$ 是上界。
GYDF4y2Ba结论是 $f (c) = y,$ (C)=Y,如所愿。 $_ \广场$

事实上，中值定理与最小上界性质是等价的。假设中间值定理成立，且对于一个非空集 $s$ 有上界，考虑函数 $F$ 取这个值 $1.$ 在所有的上界上 $s$ 和 $－1$ 1.其余的 $\马瑟布R。$ ．然后 $F$ 中间值定理不是连续的吗 $($ 它接受了这些值 $－1$ 1.和 $1，$ ,但从来没有 $0),$ ),这一点很简单 $x$ 在哪里 $F$ 不连续一定是最小上界吗 $年代。$ ．

中值定理也可以用连接设置在里面 $\马瑟布R。$ ．回想一下，连通集合不是两个不相交的并集开放子集。连通集的连续像是连通的，因此连续函数在封闭区间上的像是连通的，因此像中任意两点之间的每一点都必须包含。这里是这个观点的正式翻译，改编自维基在连接集上：

让 $f\冒号[a,b] \to \mathbb$ :[A.,B]→R是一个连续函数 $Y$ 任意实数 $f (a)$ (A.)和 $f（b）。$ (B)．我们想证明有一个 $c \ [a, b]$ ∈[A.,B]这样 $f (c) = y。$ (C)=Y．因为 $[甲,乙]$ A.,B]是相连的吗 $F$ 是连接。如果 $范围内随意抽查,y \ f \大([a, b] \大),$ ∈/F([A.,B]),然后设置 $大\ \ {(\ infty, y) \帽f \大([a, b] \大)大\ \}$ (−∞,Y)∩F([A.,B])}和 $大\ \{\大(y) \ infty \大)\帽f \大([a, b] \大)大\ \}$ (Y,∞)∩F([A.,B])}不相交的非空集在子空间拓扑结构在 $f\big（[a，b]\big）。$ ([A.,B])．他们的结合是 $f\big（[a，b]\big），$ ([A.,B]),这是一个矛盾。 $_ \广场$

注意，最小上界的性质是用一种相对微妙的方式使用的:它是为了证明定义域，即闭区间 $[a，b]，$ A.,B],是连接。中值定理的任何证明都必须诉诸于一个等价于最小上界性质的性质完整性真正的数字。
GYDF4y2Ba这种基于连通子集的框架解释了为什么中间值定理不容易推广到图像所在的连续函数 ${\mathbb R}^n$ N对于 $n>1$ >1. $(\text{or in}\， {\mathbb C});$ 可能要复杂得多。

测试 中值定理

有关…… 微积分> 连续性

目录 常见的误解 例子和应用程序 中值定理的证明

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中值定理

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例子和应用程序

中值定理的证明