微积分基本定理

在这个wiki中，我们将看到微积分的两个主要分支，微分和积分，是如何相互关联的。虽然这两个问题看起来是不相关的，就像一个来自于正切问题另一个来自于面积问题，我们会看到微积分基本定理确实在两者之间建立了联系。

我们学过不定积分，也就是求函数不定积分的过程。与不定积分相反，定积分的结果将是一个数字，而不是一个函数。函数的定积分是函数图下的带符号面积，表示为 $b \ displaystyle {\ int_a ^ f (x) \, dx}:$

现在，假设我们形成了一个面积函数 $S (x)$以这种方式，它依赖于函数 $f (x)$作为

$S(x)= int _{a}^{x}{f(t)\， dt}，$

在哪里 $f$区间是连续的吗 $[a, b]$．现在，假设我们想求面积的变化率 $x$：

从上图可以看出，阴影区域的面积等于曲线下的面积 $f (t)$从 $一个$来 $x + \δx$减去下面的面积 $f (t)$从 $一个$来 $x$．因此,

${对齐}\ \开始三角洲& = (x + \δx)——(x) \ \ \ \ \压裂{\δS}{\δx} & = \压裂{(x + \δx)——(x)}{\δx}。结束\{对齐}$

所以面积变化率是

$S (x) = \压裂{dS} {dx} = \ lim_{\δx \ rightarrow 0} \压裂{S (x + \δx) - S (x)}{\δx}。$

我们知道有一个 $\眉题{x}$发现 $x$和 $x + \δx$使阴影区域的面积等于 $f(\眉题{x}) \δx$：

${begin{aligned} S'(x) &= lim_{Delta x\rightarrow 0}\frac {S(x+ Delta x)-S(x)}{Delta x}\ \ &= lim_{Delta x\rightarrow 0}\frac {f(overline {x})\Delta x}\ \ &=f(x)。结束\{对齐}$

最后一步是正确的，因为 $\δx \ rightarrow 0$，在两者之间 $x$和 $x + \δx$方法 $x$．现在我们要讲微积分的第一个基本定理:

如果 $f$上是连续的 $[a, b]$，则定义的函数

$S(x)= int _{a}^{x}{f(t)\， dt}$

上是连续的 $[a, b]$和可微的 $(a, b)$, $S (x) = f (x)$．

积分和微分是相反的。更清楚的是，微积分第一基本定理可以用莱布尼茨符号写成

$\压裂{d} {dx} \ int _{一}^ {x} {f (t) \, dt = f (x)}。$

求导数 $k (x) = \ \ displaystyle int _ {2} ^ {x} {({4} ^ {t} + t) \, dt}$．

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这个函数 $f$是连续的，从微积分的第一个基本定理

$K '(x)={4}^{x}+x。\ _ \广场$

导数是什么 $\ displaystyle h (x) = \ int_ {2} ^ {{x} ^{2}}{\压裂{1}{1 + {t} ^ {2}} \, dt} ?$

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根据链式法则，我们用微积分第一基本定理来求解。

让 $u = x ^ {2}$,然后

${对齐}\ \开始压裂{d} {dx} \ int_ {2} ^ {x ^ 2}{\压裂{1}{1 + t ^ 2} \, dt} & = \压裂{d} {du} \离开\ [int _{1} ^{你}{\压裂{1}{1 + {t} ^ {2}} dt} \右]\ cdot \压裂{du} {dx} \ \ & = \压裂{1}{1 +{你}^ {2}}\ cdot 2 {x} \ \ & = \压裂{2 x} {1 + {x} ^{4}}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

求导数 $(x^ {x^2}) cos t \， dt。$

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同样，我们用链式法则和微积分基本定理来解这个。

让 $u = x ^ 2$,然后

$\开始{对齐}\ displaystyle \ int_ {1} ^ {x ^ 2} \ \因为t, dt = \ dfrac {d} {du} \离开[\ displaystyle \ int_{1} ^{你}\ \因为t, dt \右]\ cdot \ dfrac {du} {dx} \ \ & = \因为{你}\ cdot \ dfrac {d} {dx} \左(x ^ 2 \) \ \ & = \因为u \ cdot 2 x \ \ & = 2 x \ cos (x ^ 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

求导数 $\displaystyle h(x)= int _{x}^{3x}{sin\theta \， d\theta}$．

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我们利用积分的下列性质:

$\ int _ {b} ^{一}{f (x) \, dx} = \ int _ {b} ^ {0} {dx + f (x) \ \ int _{0} ^{一}{f (x) \, dx}}。$

所以,

$\{对齐}开始的h (x) & = \压裂{d} {dx} \ int _ {x} ^ {3 x}{\罪\θ\ dθ\}\ \ & = \压裂{d} {dx} \ int _ {x} ^{0}{\罪\θ\ dθ+ \ \压裂{d} {dx} \ int _ {0} ^ {3 x}{\罪\θ\ d \θ } } \\ &=\ 压裂{d} {dx} - \ int _ {0} ^ {x}{\罪\θ\ dθ\}+ \压裂{d} {dx} \ int _ {0} ^ {3 x}{\θ\ \罪,d \θ } \\ &=-\ sin (x) + \压裂{d} {du} \ int _{0} ^{你}{\罪\θ\ dθ\}\ cdot \压裂{du} {dx } \\ &=-\ sin (x) + 3 \ sin3x。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $f$是连续函数吗 $[a, b]$,然后

$x (x) = x (x) ^ (x) ^ (x) ^ (x) ^ (x) ^ (x))$

在哪里 $F$是不定积分吗 $f$,即 $' = F$． $_ \广场$

根据微积分第一基本定理我们知道 $\displaystyle S(x)= int _{a}^{x}{f(t)\， dt}$,然后 $年代$是不定积分吗 $f$或 $S (x) = f (x)$．由于 $F (x) = F (x),$

$S (x) = F (x)。$

两边同时积分 $x$,我们有

$\ displaystyle S (x) = \ int _{一}^ {x} {f (t) \, dt} = f (x) + C \ qquad \ qquad (1)$

在哪里 $C$是一个常数。

现在,插入 $x =一个$在这个方程中，我们有

$S(a)= int _{a}^{a}{f(t)\， dt}= f(a)+C。$

根据定义, $\ displaystyle S (a) = \ int _{一}^{一}{f (t) \, dt} = 0$,因此

$\{对齐}开始F (a) + c = 0 \ \ \ Rightarrow c = F (a)。结束\{对齐}$

插入 $C = - f (a)$回到等式中 $（1）$,我们有

$\ displaystyle S (x) = \ int _{一}^ {x} {f (t) \, dt} = f (x) - f (a)。$

最后,设置 $x = b$,我们有

$\{对齐}年代开始(b) = \ int _{一}^ {b} {f (t) \, dt} & = f - f (a) (b) \ \ \ Rightarrow \ int _{一}^ {b} {f (x) \, dx} & = f - f (a) (b)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

我们也可以用黎曼和的概念来证明上述定理。

根据微积分第一基本定理我们知道 $\displaystyle S(x)= int _{a}^{x}{f(t)\， dt}$,然后 $年代$是不定积分吗 $f$或 $S (x) = f (x)$．所以我们知道 $\displaystyle f(x) = f '(x)$．考虑一个分区 $P = {a= x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b \}$．有了这个分区作为参考，我们可以写

$(b) - F (a) = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \大(F(间{i + 1}) - F (x_i)大\]。$

这是证明中比较简洁的部分。 $\displaystyle \forall I = 0,1,2， \dots, n -1 \text{} \exists t_i \in \text{} (x_i, x_{I +1})$这样 $\ displaystyle F(间{i + 1})——(x_i) = F (t_i) \左(间{i + 1} -间{我}\右)= F (t_i) \左(间{i + 1} -间{我}\右)$．这就是中值定理的直接含义。现在我们得到的是

$(b) - F (a) = \ sum_ {i = 0} ^ {n} F (t_i) \左(间{i + 1} -间{我}\右);文本~ t_i \ \ {} (x_i,间{i + 1})。$

表达式的右边就是黎曼和它最终收敛为定积分作为分划 $P$变得越来越好:

$F(b)-F(a)= int _{a}^{b}{F(t)\， dt}。\ _ \广场$

这个定理将通过计算和的极限来求定积分的困难问题转化为求不定积分的简单问题。举个例子，如果要求我们计算积分 $\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\， dx}$的不定积分 $f (x)$计算它们在积分的每个端点上的值，最后彼此相减。

评估 $\ displaystyle {\ int_0 ^ 1} x ^ 2 \, dx。$

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根据微积分基本定理，我们有

$\ displaystyle {\ int_0 ^ 1} x ^ 2 \, dx = F (1) - F (0)$

在哪里 $F (x)$是不定积分吗 $x ^ 2。$不定积分法的 $x ^ 2$给了

$\ int x ^ 2 dx = \压裂{1}{3}x ^ 3 + C,$

在哪里 $C$是积分常数。

因此我们有

$F (1) - F(0) = \离开(\压裂{1}{3}\ times1 ^ 3 + C \右)- \离开(\压裂{1}{3}\ times0 + C \右)= \压裂{1}{3}。\ _ \广场$

观察积分常数 $C$可以忽略，因为不管它的价值如何，它都是要被消除的。

求曲线下的面积 $y = x ^ 3 + 1$从 $x = 1$来 $x = 1。$

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自 $x ^ 3 + 1 \ geq0$在时间间隔 $[1],$曲线下的面积 $y = x ^ 3 + 1$从 $x = 1$来 $x = 1$等于 $\ displaystyle {\ int_{1} ^ 1 \离开(x ^ 3 + 1 \) \, dx}。$自 $\压裂{1}{4}x ^ 4 + x$是不定积分吗 $x ^ 3 + 1,$曲线下的面积是

$\开始{对齐}\ int_{1} ^ 1 \离开(x ^ 3 + 1 \) \,左dx = \[\压裂{1}{4}x ^ 4 + x \] _{1} ^ 1 \ \ & = \离开(\压裂{1}{4}\ cdot1 ^ 4 + 1 \右)- \离开(\压裂{1}{4}\ cdot(1) ^ 4 +(1) \) \ \ & = \压裂{5}{4}- \离开(- \压裂{3}{4}\)\ \ & = 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $\ displaystyle {\ int_{3} ^{2} \离开(好几次x ^ 2 + 4 \) \, dx。}$

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自 $\ displaystyle {\ int \离开(好几次x ^ 2 + 4 \) \, dx = \压裂{2}{3}x ^ 3 - \压裂{3}{2}x ^ 2 + 4 x + C,}$我们有

$\开始{对齐}\ displaystyle {\ int_{3} ^{2} \离开(好几次x ^ 2 + 4 \) \, dx}左& = \[\压裂{2}{3}x ^ 3 - \压裂{3}{2}x ^ 2 + 4 x \] _{3} ^{2} \ \ & = \离开(\压裂{2}{3}\ cdot2 ^ 3 - \压裂{3}{2}\ cdot2 ^ 2 + 4 \ cdot2 \右)- \离开(\压裂{2}{3}\ cdot(3) ^ 3 - \压裂{3}{2}\ cdot (3) ^ 2 + 4 \ cdot(3) \) \ \ & = \压裂{305}{6}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $\ displaystyle {\ int_ {4} ^ {9} \ sqrt {x} \, dx。}$

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我们有

$\开始{对齐}\ int_ {4} ^ {9} \ sqrt {x} \, dx = \ int_4 ^ 9 x ^{\压裂{1}{2}}\,dx左\ \ & = \[\压裂{2}{3}x ^{\压裂{3}{2}}\右]_4 ^ 9 \ \ & = \压裂{2}{3}\ cdot9 ^{\压裂{3}{2}}\压裂{2},{3}\ cdot4 ^{\压裂{3}{2}}\ \ & = \压裂{38}{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

Imgur

上图中阴影区域的面积是多少?

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我们需要求出曲线下的面积 $y = \压裂{1}{x}$从 $x = \压裂{1}{2}$来 $x = \压裂{5}{2}。$自 $int \ displaystyle{\ \压裂{1}{x} \, dx = x + C \ ln,}$曲线下的面积等于

${对齐}\ \开始int_{\压裂{1}{2}}^{\压裂{5}{2}}\压裂{1}{x} \, dx = \ [\ lnx \大]大_{\压裂{1}{2}}^{\压裂{5}{2}}\ \ & = \ ln \压裂{5}{2}- \ ln \压裂{1}{2}\ \ & = \ ln5。\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $\ displaystyle \ int_{- \压裂{\π}{4}}^{0}\秒x \ tanx \ dx。$

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我们知道

${d}{dx}\sec x = \sec x\tan x。$

因此，积分是

$\开始{对齐}\ displaystyle \ int_{- \压裂{\π}{4}}^{0}\秒x \ tanx \ dx & = \[\秒x \大]大_{- \压裂{\π}{4}}^{0}\ \ & = \秒0 - \秒\离开(\ dfrac{- \π}4 \)\ \ & = 1 - \√2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $\ displaystyle {\ int_{- \压裂{\π}{2}}^{\压裂{5}{6}\π}\ sin (x) \, dx。}$

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我们有

$\开始{对齐}\ int_{- \压裂{\π}{2}}^{\压裂{5}{6}\π}\ sin (x) \, dx =大\ [- \ cos x \]大_{- \压裂{\π}{2}}^{\压裂{5}{6}\π}\ \ & = \压裂{\ sqrt{3}}{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

求曲线下的面积 $y = 2 x ^ 2$从 $x = 1$来 $x = 2。$

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自 $2 x ^ 2 \ geq0$在时间间隔 $(1、2),$曲线下的面积 $y = 2 x ^ 2$从 $x = 1$来 $x = 2$等于 $\ displaystyle {\ int_1 ^ 2 \离开(2 x ^ 2 \) \, dx}。$自 $x ^ 2 - \压裂{1}{3}x ^ 3$是不定积分吗 $2 x ^ 2,$

$\开始{对齐}\ int_1 ^ 2 \离开(2 x ^ 2 \) \, dx =左\ [x ^ 2 - \压裂{1}{3}x ^ 3 \] _1 ^ 2 \ \ & = \离开(2 ^ 2 - \压裂{1}{3}\ cdot2 ^ 3 \右)- \离开(1 ^ 2 - \压裂{1}{3}\ cdot1 ^ 3 \) \ \ & = \压裂{2}{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}$