泰勒定理(含拉格朗日余数)

我们从微积分基本定理(FTC)开始，它应该是最自然的形式:

$f (x) = f (a) + \ int_a x ^ {{# D61F06} \颜色f ' (x_1)} \ dx_1。$

这个表达式自然需要这样做 $f$是可微的 $（$即。 $f '$存在 $）$和 $f '$是连续的 $一个$和 $x$-我们说 $f$是连续可微的在短 $（$或 $在C ^ 1 f \)。$你可以允许 $f '$有一些跳跃不连续，但我们很快就会看到更多的可微性会出现，而不是更少。为了明确起见，想象一下 $x$大于 $一个$和 $x_1$变量是从哪里运行的 $一个$来 $x$．

此外,如果 $f '$是连续可微的 $（$我们说 $f$是两次连续可微的,或 $f \ C ^ 2),$我们可以向联邦贸易委员会申请 $f '$关于反转 $(x_1]$：

${{# D61F06} \颜色f ' (x_1)} = {{# D61F06} \颜色f ' (a) + \ int_a ^ {x_1} {{# 20 a900} \颜色f”(x_2)} \ dx_2}。$

把这个代入表达式for $f (x)$，我们有

$\{对齐}开始f (x) & = f (a) + \ int_a ^ x左{# D61F06}({\颜色\ f ' (a) + \ int_a ^ {x_1} {{# 20 a900} \颜色f”(x_2)} \ dx_2} \右)dx_1 \ \ & = f (a) + f (a) (x) + \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} {{# 20 a900} \颜色f”(x_2)} \ dx_2 \, dx_1。结束\{对齐}$

再玩这个游戏，如果 $f”$是连续可微的 $（$即。 $f \ C ^ 3),$我们可以写

${{# 20 a900} \颜色f”(x_2)} = {{# 20 a900} \颜色f”(a) + \ int_a ^ {x_2} {{# EC7300} \颜色f”(x_3)} \ dx_3},$

所以现在

$\{对齐}开始f (x) & = f (a) + f (a) (x) + \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} \离开({{# 20 a900} \颜色f”(a) + \ int_a ^ {x_2} {{# EC7300} \颜色f””(x_3)} \ dx_3} \) \, dx_2 \, dx_1 \ \ & = f (a) + f (a) (x) + f”(a) \压裂{(x) ^ 2} {2} + \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} \ int_a ^ {x_2} {{# EC7300} \颜色f”(x_3)} \ dx_3 \, dx_2 \, dx_1。结束\{对齐}$

这显然概括如下:

如果 $f (x)$是 $n + 1$乘以连续可微的 $(f \ C ^ {n + 1})$在一个包含 $一个$,然后

$F (x) = \sum_{k=0}^n \frac{F ^{(k)}(a)}{k!}(x -a)^k + R_{n+1}(x)$

在哪里

$R_ {n + 1} (x) = \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} \ ldots \ int_a ^ {x_n} f ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) \, dx_ {n + 1} \ ldots dx_2 \, dx_1,$

被称为剩余部分．

<！-- end-theorem -->

从某种意义上说，我们已经推送了很多关于价值的信息 $f (x)$切中要害 $一个$可能的话，剩下的就是一个“看起来很复杂”的术语。

验证它 $f (x) = \ sin (x)$， $一个= 0$, $n = 3$．

---

我们有

$\{对齐}开始R_4 (x) & = \ int_0 x ^ \ int_0 ^ {x_1} \ int_0 ^ {x_2} \ int_0 ^ {x_3} f ^ {(4)} (x_4) \ dx_4 \, dx_3 \, dx_2 \, dx_1 \ \ & = \ int_0 x ^ \ int_0 ^ {x_1} \ int_0 ^ {x_2} \ int_0 ^ {x_3} \罪x_4 \, dx_4 \, dx_3 \, dx_2 \, dx_1 \ \ & = \ int_0 x \ int_0 ^ ^ {x_1} \ int_0 ^ {x_2} (1 - \ cos x_3) \, dx_3 \, dx_2 \, dx_1 \ \ & = \ int_0 x \ int_0 ^ ^ {x_1} \离开(x_2 \罪x_2 \) \, dx_2 \, dx_1 \ \ & = \ int_0 x ^ \离开(\压裂{x_1 ^ 2} {2} - - - - - - (1 - \ cos x_1) \) \, dx_1 \ \ & = \压裂{x ^ 3} {3 !} - x + \sin x.\ _\square \end{对齐}$

注意，如果有 $f ^ {(n + 1)}$在区间内 $(a, x)$，我们可以很容易地推断出所谓的拉格朗日误差界它足以满足大多数应用(例如泰勒级数的收敛性;见下文)。实际的拉格朗日(或其他)余数似乎是一个可以忽略的“更深”的结果。

(拉格朗日误差界)

如果，另外， $f ^ {(n + 1)}$的边界是 $米$在区间内 $(a, x)$,即 $f \大| ^ {(n + 1)} (\ xi)大| \ \ leq M$对所有 $\xi \in （\mathrm{一个}，x）$,然后

$\big|R_{n+1}(x)\big| \leq \frac{M}{(n+1)!x} | | ^ {n + 1}。$

其余的 $R_ {n + 1} (x)$如上所述是累次积分，或者<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="多重积分" target="_blank">多重积分在多变量微积分中会遇到的。这可能是泰勒定理很少被这样教授的原因。

为 $n = 1$，余数

$R_2 (x) = \ int_a x \ int_a ^ ^ {x_1} f”(x_2) \ dx_2 \, dx_1$

是一个“二重积分”，在这个积分中，被积函数可以同时依赖于两个变量 $x_1$和 $x_2$．在本题中，被积函数只依赖于 $x_2$，所以如果我们对 $x_1$变量。的确，我们可以这样做(有一点帮助)<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fubinis-theorem/" class="wiki_link" title="Fubini定理" target="_blank">Fubini定理）：

$\{对齐}开始R_2 (x) & = \ int_a x ^ {{# D61F06} \ \颜色int_ {x_2} x ^} f”(x_2) \ {{# D61F06} dx_1} \颜色\,dx_2 \ \ & = \ int_a ^ x f”(x_2) {{# D61F06} (x-x_2)} \颜色\,dx_2。结束\{对齐}$

注意，积分的极限被改变以保持两个变量的相对位置，即 $A \ leqx_2 \ leqx_1 \ leqx$．实际上，积分应该看成是在直角三角形上 $x_1 x_2$-平面，计算表面下的(有符号的)体积 $F (x_1、x_2) = F (x_2)$．这直观地表明，交换积分顺序不应该影响最终结果。

对于的一般情况 $R_ {n + 1} (x)$，积分区域为 $(n + 1)$-维“单纯形”定义为 $A \ leqx_ {n+1}\ leqx_ n\ leqx_1 \ leqx$，然后再进行积分 $X_1， \ldots, x_n$ $（$与 $间{n + 1}$固定 $）$产生一个直角的体积 $n$单纯形”。也就是说,

$\{对齐}开始R_ {n + 1} (x) & = \ int_a x ^ \ int_a ^ {x_1} \ cdots \ int_a ^ {x_n} f ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) \, dx_ {n + 1} \ ldots dx_2 \, dx_1 \ \ & = \ int_a x ^ {{# D61F06} \ \颜色int_{间{n + 1}} ^ {x} \ cdots \ int_ {x_2} ^ {x}} f ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) \, {{# D61F06} dx_1 \颜色\ ldots dx_n} \, dx_ {n + 1} \ \ & = \ int_a f x ^ ^ {(n + 1)}(间{n + 1}) {{# D61F06} \ \颜色压裂{(x-x_ {n + 1}) ^ n} {n !}} \, dx_ {n + 1},结束\{对齐}$

这被称为积分形式剩下的。

在相同条件下，

$R_ {n + 1} (x) = \ int_a f x ^ ^ {(n + 1)} (\ xi) \压裂{(x - \ xi) ^ n}, {n !} \ d \习。$

根据“实”中值定理，这个积分可以用在某一点上得到的“中值”来代替 $\xi \in （\mathrm{一个}，x）$，乘以长度 $入$．这样我们就得到了余数柯西形式：

(柯西)

$R_ {n + 1} (x) = \压裂{f ^ {(n + 1)} ({{# D61F06} \ \颜色xi})} {n !｝（x-{\color{#D61F06}\xi})^n (x-a) \quad \text{for some }\ {\color{#D61F06}\xi}\in(a, x).$

最后，得到拉格朗日形式，我们只需要看看原件 $(n + 1)$-折积分，并应用多变量版本的“实”中值定理:一个有界上的多重积分，连接区域等于它的“平均值”，通过被积函数的连续性在域中的某一点获得，乘以积分区域的“体积”。(我们可以通过一个简单的应用来证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extreme-value-theorem/" class="wiki_link" title="极值定理" target="_blank">极值定理和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/intermediate-value-theorem/" class="wiki_link" title="中间值定理" target="_blank">中间值定理）。因此我们有

(拉格朗日)

$R_ {n + 1} (x) = \压裂{f ^ {(n + 1)} ({{# D61F06} \ \颜色xi})} {(n + 1) !｝（x-a)^{n+1} \quad \text{for some }\ {\color{#D61F06}\xi}\in(a, x).$

请注意，它几乎肯定是不同的 $\xi$从柯西余数中得到的，在这两种情况下，我们都不知道确切的位置 $\xi$没有关于函数的更多信息吗 $f (x)$．拉格朗日余数很容易记住因为它和泰勒级数的下一项是相同的表达式，除了 $f ^ {(n + 1)}$是在这个点上被评估的吗 $\xi$而不是at $一个$．

我们也可以通过积分一些而不是全部得到其他形式的余数 $x_1、\ ldots x_n$变量，并将中值定理应用于其余变量。仔细分析一下，你会发现

为 $P = 0,1， \ldots, n$，

$R_ {n + 1} (x) = \压裂{f ^ {(n + 1)} ({{# D61F06} \ \颜色xi})} {p (n + 1 - p) !｝（x-{\color{#D61F06}\xi})^{p} (x-a)^{n+1-p} \quad \text{for some } {\color{#D61F06}\xi}\in (a, x).$

这很接近，但不完全相同，Roche-Schlömilch式的余式。

还应该提到，积分形式通常是由的连续应用推导出来的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-by-parts/" class="wiki_link" title="分部积分法" target="_blank">分部积分法，这样就避免了提到多重积分。然而，它可以被认为是相同的证明(直到同伦，在某种意义上)因为分部积分，本质上是说，一个人可以计算一个特定的面积通过对 $x$变量或除以 $y$变量。

除了给出用泰勒级数的前几项近似一个函数的误差估计外，泰勒定理(带拉格朗日余数)提供了证明整个泰勒级数收敛的关键成分完全到它应该表示的函数。有几个例子是合适的。

$f (x) = \ sin (x)$是无限可微的 $(f \ C ^ \ infty),$所有的导数 $f ^ {(n)} (x)$是四种可能性之一，即 $\ \因为下午x$和 $下午\ \ sin (x)$．因此，在任何形式的 $R_ {n + 1}$上面，我们可以简单地定界 $f \大| ^ {(n + 1)} (\ xi) \大|$通过 $1$，所以(比如用拉格朗日形式)

$\大| R_ {n + 1} (x)大| \ \ leq \压裂{x | | ^ {n + 1}} {(n + 1) !}\到0 \quad \text{as}\ n\到\infty$

对于任何固定的 $一个$和 $x \ \ mathbb R$．因此，的泰勒级数 $\ sin (x)$，以任何一点为中心 $一个\ \ mathbb R$，确实趋同于 $\ sin (x)$对所有 $x \ \ mathbb R$．<！-- end-example -->

现在很自然地把这种论证应用到尽可能多的函数上，最好是有一些一般的定理来描述哪些函数，用一个简单的准则或检验，它的泰勒级数总是收敛于正确的函数无论它收敛在哪里。这个定理更配得上泰勒定理的名字(在某种意义上的关于泰勒级数的定理，而不是把它归因于布鲁克·泰勒)。不幸的是，存在的自然标准 $C ^ \ infty$在间隔时间是不够的。著名的(反)例子是

$φ(x) = \ \{病例}开始e ^ {1 / x} & x > 0 \ \ 0 & \ leq 0 \{病例}结束$

所有的导数 $x = 0$存在并等于 $0$，所以它的泰勒级数以 $一个= 0$，或任何 $< 0,$不收敛于 $\φ(x)$为 $x > 0$．这个看似无辜的功能的存在是非常重要的，因为它产生了丰富的储层光滑的功能 $\ mathbb R ^ n$可以有任何所需的支持(通常称为凹凸函数在光滑流形的研究中，和测试函数在理论中<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distributions/" class="wiki_link" title="分布" target="_blank">分布）.

但是，就泰勒级数而言，这些光滑函数是不好的。以泰勒级数总是收敛于自身这一性质为特征的“好”函数被称为(真正的)分析，有时表示为 $f在C ^ \ \ω$暗示它比存在更强大 $C ^ \ infty$．“解释”为什么的最好方法是 $\φ(x)$上面不是解析的，而是通过进入复域:即使两边沿着实轴平滑地“缝合”在一起(在原点)，也不可能将其作为(单一)延伸到复平面。<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/holomorphic-function/" class="wiki_link" title="全纯函数" target="_blank">全纯函数，即使邻域是0也不行。其实，行为的 $e ^ {1 / x}$对于小型复合体 $x$是极其狂野的(参见皮卡德关于本质奇点的定理)。以下定理在微积分中很少提及，因为它被认为是实变量课程的“范围之外”的解析性的自然准则，它绕过了泰勒定理和估计余数的困难。

如果 $f (x)$一个(实值或复值)函数是否在开区间上 $我\ subseteq \ mathbb R$，它扩展到(即与)全纯函数一致 $f (z)$在一个复杂的域 $U$ $（$的开放连接子集 $\ mathbb C)$包含 $我$的泰勒级数 $f (x)$在任何时候 $我的\$收敛于 $f (x)$在它收敛的地方 $（$也就是说, $f$是分析 $）.$而且，收敛半径最大 $r > 0$这样 $f (x)$允许在包含开盘的域上的全纯扩展 $\{z\in\mathbb C: |z-a|$．<！-- end-theorem -->

我们遇到的绝大多数函数——包括所有初等函数和它们的不定积分，以及(合理的)常微分方程的更一般的解——都满足这个标准，因此是解析的。有关复域上解析函数的更多信息，请参阅wiki<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/analytical-continuation/" class="wiki_link" title="解析延拓" target="_blank">解析延拓．

泰勒定理(拉格朗日余数)中的条件可以放宽一点，这样 $f ^ {(n + 1)}$不再被假定为连续的(上面的推导失效)，而仅仅存在于开区间上 $(a, x)$．中值定理也是一样，它本来是指

$\ int_a ^ b f (x) \, dx = f (c) (b) \四\文本{一些}\ c \ (a, b)$

条件是 $f '$是连续的，但是(稍微)一般化，所以 $f '$不再是连续的，而仅仅是存在的，左边的积分被 $f (b) - f (a)$．人们可能有理由怀疑，这样的功能是否存在。唉，他们确实如此。最经典的例子是

$f (x) =罪\{病例}开始x ^ 2 \ \ dfrac {1} {x} & x \ neq 0 \ \ 0 & x = 0 \{病例}结束$

的 $f '$存在于 $x = 0$但是这里不是连续的。不连续是如此糟糕以至于它不是(黎曼)可积的。

更强的均值定理找到了一个完全不同的证明——最终依赖于实数的性质——事实上，它是证明微积分基本定理本身的一个重要组成部分。泰勒定理(带拉格朗日余数)的更强版本，在大多数书中都可以找到，是直接从中值定理证明的。托马斯·塔克(Thomas Tucker)的著作很好地论证了这不是最好的教育学方法<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/AMM/00029890.di991820.99p0715d.pdf">重新思考微积分中的严谨性:中值定理的作用．有关更有启发性的说明，请参阅<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://gowers.wordpress.com/2014/02/11/taylors-theorem-with-the-lagrange-form-of-the-remainder/">Timothy Gowers的博客文章．

还应注意，余数的积分形式的条件同样可以放宽，以便 $f ^ {(n + 1)}$不再是连续的，但是 $f ^ {(n)}$是绝对连续，这意味着 $f ^ {(n + 1)}$几乎存在于任何地方并且是可积的(勒贝格) $大(f \ ^ {(n + 1)} \ L ^ 1 \大)$．从某种意义上说，这是微积分基本定理和分部积分最一般的情况。