罗尔定理

罗尔定理是微分学中的一个基本定理。它是一种特殊情况，实际上等价于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/mean-value-theorem/" class="wiki_link" title="中值定理" target="_blank">中值定理，这反过来又是证明的必要成分<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-calculus/" class="wiki_link" title="微积分基本定理" target="_blank">微积分基本定理．

该定理表述如下:

罗尔定理

对于任何函数 $f (x)$在区间内是连续的 $[a, b]$在区间内是可微的 $(a, b),$在哪里 $(一)= f (b),$至少存在一点 $\ \大(c、f (c)大)$在哪里 $f (c) = 0$在间隔内 $(a, b)。$

这方面的图形演示将有助于我们的理解;实际上，你会觉得这很明显:

Imgur

在上图中，我们可以将任意两点设为 $\ \大(f (a)大)$而且 $大(b, f (b) \ \大)$只要 $(一)= f (b)$函数在区间内是可微的 $(a, b)。$那么，当然，在这两者之间必须有一个点 $f = 0,$也就是图中的红点。现在我们来看看这个定理的数学证明。

我们将其分为两种情况:

(1） $f (x)$是常数函数。

如果 $f (x)$是常数函数吗 $f = 0$在整个区间内。那么，当然，存在一个 $c$这样 $f (c) = 0$在间隔内 $(a, b)。$

$$（2） $f (x)$不是常数函数。

当 $f (x)$不是常数函数而是在区间内连续的 $[a, b],$根据<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/extreme-value-theorem/">极值定理， $f (x)$区间内必须有最大函数值和最小函数值 $[a, b]。$自 $f (x)$不是常数函数，区间内至少有一个极值必须存在 $(a, b)。$

(2) 1
如果 $f (x)$它的最大函数值是多少 $f (c)$在 $x = c \ (a、b),$然后是实数 $h$谁的绝对值小到这样 $< < b, c + h$由此可见

$f (c + h) - f (c) \ leq0。$

因此我们有

$h \ \开始{对齐}\ lim_ {rightarrow 0 ^ -} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} \组0 \四\ lim_ {h \ rightarrow 0 ^ +} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} \ leq 0。结束\{对齐}$

自 $f (x)$在区间内是可微的吗 $(a, b),$根据夹逼定理

$\{对齐}开始0 \ leq \ lim_ {h \ rightarrow 0 ^ -} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} = \ lim_ {h \ rightarrow 0 ^ +} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} & \ leq 0 \ \ \ rightarrow f (c) & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} \ \ & = 0。结束\{对齐}$

(2) 2
如果 $f (x)$它的函数值最小 $f (c)$在 $x = c \ (a、b),$然后是实数 $h$谁的绝对值小到这样 $< < b, c + h$由此可见

$f (c + h) - f (c) \ geq0。$

因此我们有

$h \ \开始{对齐}\ lim_ {rightarrow 0 ^ -} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} \ leq 0 \四\ lim_ {h \ rightarrow 0 ^ +} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} \组0。结束\{对齐}$

自 $f (x)$在区间内是可微的吗 $(a, b),$根据夹逼定理

$\{对齐}开始0 \ leq \ lim_ {h \ rightarrow 0 ^ +} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} = \ lim_ {h \ rightarrow 0 ^ -} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} & \ leq 0 \ \ \ rightarrow f (c) & = \ lim_ h \ rightarrow{0} \压裂{f (c + h) - f (c)} {h} \ \ & = 0。结束\{对齐}$

因此，无论给定哪种情况，都存在一个点 $f = 0$在间隔内 $(a, b)。\ _ \广场$

显然，罗尔定理成立，函数必须在我们考虑的区间内是可微的。因此罗尔定理不能应用于这样的函数 $y = \ \ rvert lvert x。$

当

$F (x) = x^2-2x+1，$

表明, $f (x) = 0$在区间中至少有一个根 $0< x < 2$利用罗尔定理。

---

观察到 $F (x) = x^2-2x+1$在区间内是连续的吗 $(0, 2)$可微的 $(0, 2)。\ qquad (1)$

的函数值 $f (x)$在 $x = 0, 2$是

$\{对齐}开始f(0)和f = 1 \ \ (2) & = 2 ^ 2 - 2 \ cdot 2 + 1 \ \ & = 1 \ \ \ Rightarrow f (0) & = f(2) = 1。\qquad \qquad (2) \end{aligned}$

然后从 $(1）$而且 $（2）$，证明罗尔定理是可以应用的。根据罗尔定理，存在一个点在 $f (x) = 0$在这段时间 $(0,2). \ _\平方$

当

$F (x) = \cos x +2，$

表明, $f (x) = 0$在区间中至少有一个根 $-\pi< x < \pi$利用罗尔定理。

---

观察到 $F (x) = \ cosx +2$在区间内是连续的吗 $[- \ππ\]$可微的 $(\π-π\)。\ qquad (1)$

的函数值 $f (x)$在 $x = - \π\π$是

$f(——\ \{对齐}开始π)& = \ cos(- \π)+ 2 \ \ & = 1,\ \ f(\π)& = \因为\π+ 2 \ \ & = 1 \ \ \ Rightarrow(- \π)& = f(\π)= 1。\qquad \qquad (2) \end{aligned}$

然后从 $(1）$而且 $（2）$，证明罗尔定理是可以应用的。根据罗尔定理，存在一个点在 $f (x) = 0$在这段时间 $(-\pi， \pi)。\ _ \广场$

证明下列公式在区间中至少有一个根 $0< x < 1:$ $4x^3 + 3x^2 + 2x - 3 = 0。$

---

让 $F '(x) = 4x^3 + 3x^2 +2x - 3。$然后

$\{对齐}开始f (x) & = ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 3 x + C \ \ \ Rightarrow f (0) & = C \ \ f (1) & = 1 + 1 + 1 - 3 + C = C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。自 $f (x)$在区间内是连续的吗 $[0, 1]$在区间内是可微的 $(0, 1),$而且 $f(0) = f(1) = C，$我们可以应用罗尔定理。根据罗尔定理，一定有一个点 $f = 0$在间隔内 $(0, 1)。$

因此，给定方程在区间内至少有一个根 $0 < x < 1。$ $_ \广场$

证明下列公式在区间中至少有一个根 $0< x < 1:$

$\ tanx +x-1=0。$

---

自 $\ cos x$在给定区间内不等于0，这个方程等于什么

$\开始{对齐}\ tan x + 1 & = 0 \ \ \压裂{\ sin (x)} {x} \因为+ x 1 & = 0 \ \ \ sin (x) + (x - 1) \ cos x & = 0。结束\{对齐}$

让 $F '(x) = \ sinx + (x-1)\cos x。$然后

$\{对齐}开始f (x) & = \ int f (x) \ dx \ \ & = \ int (\ sin (x) + (x - 1) \ cos (x) \, dx \ \ & = (x - 1) \ sin (x) + C \ \ \ Rightarrow f (0) & = C \ \ f (1) & = C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。自 $f (x)$在区间内是连续的吗 $[0, 1]$在区间内是可微的 $(0, 1),$而且 $f(0) = f(1) = C，$我们可以应用罗尔定理。根据罗尔定理，一定有一个点 $f = 0$在间隔内 $(0,1)。$

因此，给定方程在区间内至少有一个根 $0 < x < 1。$ $_ \广场$