做 $\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = x + y ?$

这是关于常见的误解．

这个概念是对的还是错的?

$√{a^2 + b^2} = a + b$

为什么有些人认为这是真的:这是一个例子分配率因为指数就是重复的乘法。所以,就像 $5 (a + b) = 5 + 5 b \ sqrt {b ^ ^ 2 + 2} = \ sqrt {^ 2} + \ sqrt {b ^ 2} = a + b。$

为什么有些人说它是错误的:分配律对平方根函数不成立，所以不能这么说 $√(a^2 + b^2) =√(a^2 + b^2)$．

该声明是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$．

证据1:提供一个反例。

让 $A = 3, b = 4$．
然后, $LHS =√{3^2 + 4^2}=√{25}= 5$．
然而, $RHS = 3 + 4 = 7$．
因此，我们没有身份。

证据2:的矛盾。假设等式成立。

如果两边同时平方，就得到

$A ^2 +b ^2 = (A +b)^2 = A ^2 + 2ab +b ^2$

这显然不是一个身份，因为 $2 ab$并不总是0。因此，我们可以得出结论，这是一个恒等式当且仅当 $2 ab = 0$．

证据3:几何解释

我们也可以从几何角度看这个，马上就会发现它是假的:

理解为什么分配律对平方根不成立:

分配律是一个联系加法和乘法的恒等式: $M (a+b) = ma + MB$．然而，它不适用于平方根函数。为了理解其中的原因，考虑平方根函数的形状:

考虑曲线上的任意两点， $, \√{一})$和 $(a + b \ sqrt {a + b})$,因为 $b > 0$．两者的影响有什么不同 $\ sqrt{一}$和 $\ sqrt {a + b}$当两个点一起移动时，沿着函数并向右移动(换句话说，如 $一个$增加,但 $b$仍然是固定的)?

当区域向右移动时 $\ sqrt {x}$曲线变平了，从代数上讲，这意味着 $\ sqrt{一}$和 $\ sqrt {a + b}$降为0 $一个$增加和 $b$保持不变。另一方面，两者的区别 $\ sqrt{一}$和 $\ sqrt{一}+ \ sqrt {b}$总是 $\ sqrt {b}$当区域向右移动时，它当然不会改变，因为 $b$不会改变。

反驳在很大程度上，我同意，但是 $\根号{x^2} = pm x，$不 $x | |$．

回复这是另一个误解。看到＂ $当x^2 = 0时，x^2 = 0 ?$“错误页面获取详细信息。

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反驳:考虑一个线性函数， $F (x) = mx +b$．当一个由两个间隔固定宽度的点定义的区域向右移动时，它的高度保持不变;这是否意味着所有线性函数都服从分配律?(也就是说,如果 $F (x) = mx + c$对于任何实数 $c,$然后 $F (a+b) = F (a) + F (b)$）

回复:没有。为了让分配律适用于一个函数实际上还有第二个条件 $f (0)$必须等于0。否则, $F (a) = F (a+0) = F (a) + F (0)$不可能是真的。因此，功能的形式 $F (x) = mx + b$只有当。时，才服从实数域中的分配律 $b = 0$．

另请参阅

• “ $(a+b)^2 = a^2 +b ^2?$“错误页面
• “ $当x^2 = 0时，x^2 = 0 ?$“错误页面
• 规则的指数
• 分配率
• 常见误解清单