做 $(xy)^2 = x^2 \乘以y^2?$

这是对的还是错的?

$(xy) ^ 2 = x ^ 2 \ * y ^ 2$

为什么有些人认为这是真的:很简单: $(xy) ^ 2 = (xy) (xy) = xxyy = x ^ 2 \ * y ^ 2。$

为什么有些人说它是错误的:没那么容易……我一定错过了什么……

该声明是 $颜色\ {# 20 a900} {\ textbf{条件真的}}$．

如果运算符 $\ *$是交换 $（$也就是说, $X × y=y × X;\原则,x, y)$和关联 $（$也就是说, $x (yz) = (xy) z \; \原则,x, y, z)。$对于实数总是这样，但对于虚数就不一定了。

我们有 $(xy) ^ 2 = x (xy) (xy) = {{# D61F06} {y}} \颜色y = x {{# D61F06} {xy}} \颜色y = x ^ 2 \ * y ^ 2。\ _ \广场$

对于某些代数结构下的非交换算子，并不总是正确的:

让 $\ mathbb问$是…的集合四元数,让 $x = y = j \ \ mathbb Q$．
然后 $(xy) ^ 2 = (ij) ^ 2 = k ^ 2 = 1。$
然而, $X ^2乘y^2=i^2乘j^2=(-1)乘(-1)=1$．
这是因为 $ij \ neq霁$．
事实上, $ij =记$．

让 $S_3$的对称群 $3.$元素,让 $x = (1 \; 2), y = (2 \; 3)$在周期的符号:

• $(xy) ^ 2 = \大((1 \;2)(2 \;3)\大)^ 2 = (1 \;3 \;2)^ 2 = (1 \;3 \;2)(1 \;3 \;2)= (1 \;2 \;3)$
• $x ^ 2 \ * y ^ 2 = (1 \; 2) ^ 2 (1 \; 3) ^ 2 = () () = (),$

它们显然是不相等的。