集成技巧据/H1>据/HE.一种D.E.R.>据D.iv class="signup-modal hide">
相关......据/H4.>据你l class="unstyled">
微积分据/S.pan>>据/S.pan>
贡献据/D.iv>
许多挑战据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration/" class="wiki_link" title="集成GyD.F4y2Ba" target="_blank">集成据/一种>只要知道要应用的正确技术,问题就能出人意料地迅速得到解决。虽然找到正确的方法是一件很有独创性的事情,但还是有一打左右的方法可以更全面地解决定积分。据/p>
定积分的操作可能依赖于特定的积分极限,比如with据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">奇偶函数据/一种>,或者他们可能需要通过某种类型的方式直接改变积分而不是据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">代换据/一种>.然而,大多数积分需要技术的组合,以及许多更复杂的方法,如据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">解释为双积分据/一种>,需要多个步骤来简化表达式。据/p>
例如,考虑据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="反对GyD.F4y2Ba" target="_blank">反对据/一种>据/p>
∫据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
这被称为高斯积分,在它的使用之后据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="高斯分布GyD.F4y2Ba" target="_blank">高斯分布据/一种>,众所周知,没有封闭的形式。然而据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/improper-integrals/" class="wiki_link" title="反常积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">反常积分据/一种>据/p>
一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>
可以精确地评估,使用据S.T.R.在G>集成方法据/S.T.R.在G>.实际上,它的值是由据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/">极性积分据/一种>据/p>
一世据/S.pan>2据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>y据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>y据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>π据/S.pan>/据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>R.据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>R.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>R.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
如果没有这种方法,用于精确评估积分,高斯(正常)分布将明显复杂。这种积分始终出现据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/physics/">物理据/一种>那据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/statistics/" class="wiki_link" title="统计数据GyD.F4y2Ba" target="_blank">统计数据据/一种>那GyD.F4y2Ba据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/calculus/">数学据/一种>.据/p>
内容据/H4.>据你l class="unstyled">
奇数甚至函数据/一种>据/li>
反射据/一种>据/li>
反演据/一种>据/li>
循环点据/一种>据/li>
逆函数据/一种>据/li>
零件一体化据/一种>据/li>
三角替代据/一种>据/li>
维尔斯特拉斯替换据/一种>据/li>
泰勒级数据/一种>据/li>
积分符号下的微分据/一种>据/li>
变成二重积分据/一种>据/li>
谐波函数据/一种>据/li>
奇数甚至函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
奇函数据S.pan class="katex">
O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>满足据S.pan class="katex">
O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>O.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>对所有据S.pan class="katex">
X据/S.pan>.因此,对于任何有限的有限据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>T.据/S.pan>O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>
偶函数据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>满足据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>对所有据S.pan class="katex">
X据/S.pan>.因此,对于任何据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>T.据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>T.据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
请注意,Integrand是一个奇数函数。所以,据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>
最后的等价性来自于积分等于自身的负数。因此,它是据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>.据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
反射据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
与上面类似的方法是反转积分间隔:“向后积分”。为一个函数据S.pan class="katex">
F据/S.pan>和实数据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>据据/S.pan>B.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
而不是函数的中心据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>,该功能现在是以中心为中心的据S.pan class="katex">
2据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>.然后,据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
反演据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>有界限据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="反对GyD.F4y2Ba" target="_blank">反对据/一种>在据S.pan class="katex">
[据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>∞据/S.pan>]据/S.pan>.然后,通过据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="u替换GyD.F4y2Ba" target="_blank">u替换据/一种>据S.pan class="katex">
X据/S.pan>↦据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
循环点据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
本节目前是不完整的。让我们携手制造这个维基。随意添加您对此主题的任何了解!据/p>
与维护集成间隔的反射和逆反射有更多的转换,但它们并不像常见。据/p>
逆函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一GyD.F4y2Ba" target="_blank">一对一据/一种>并增加。然后,可以建立几何等价物:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是一对一的,递减的。然后,可以建立另一个几何等价:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>(据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>是一个一对一的连续功能,以便据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>4.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>6.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>和假设据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>.据/p>
计算据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
所界限的地区据S.pan class="katex">
F据/S.pan>那据S.pan class="katex">
X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>,据S.pan class="katex">
y据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>必须有区域据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>,意味着这个积分对应于面积据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>⋅据/S.pan>(据/S.pan>4.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>.上面关于递减函数的公式提供了同样的答案。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
零件一体化据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
相关......据/H4.>据你l class="unstyled">
许多挑战据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration/" class="wiki_link" title="集成GyD.F4y2Ba" target="_blank">集成据/一种>只要知道要应用的正确技术,问题就能出人意料地迅速得到解决。虽然找到正确的方法是一件很有独创性的事情,但还是有一打左右的方法可以更全面地解决定积分。据/p>
定积分的操作可能依赖于特定的积分极限,比如with据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">奇偶函数据/一种>,或者他们可能需要通过某种类型的方式直接改变积分而不是据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">代换据/一种>.然而,大多数积分需要技术的组合,以及许多更复杂的方法,如据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-tricks/">解释为双积分据/一种>,需要多个步骤来简化表达式。据/p>
例如,考虑据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="反对GyD.F4y2Ba" target="_blank">反对据/一种>据/p>
∫据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
这被称为高斯积分,在它的使用之后据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="高斯分布GyD.F4y2Ba" target="_blank">高斯分布据/一种>,众所周知,没有封闭的形式。然而据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/improper-integrals/" class="wiki_link" title="反常积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">反常积分据/一种>据/p>
一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>
可以精确地评估,使用据S.T.R.在G>集成方法据/S.T.R.在G>.实际上,它的值是由据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/">极性积分据/一种>据/p>
一世据/S.pan>2据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>y据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>y据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>π据/S.pan>/据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>R.据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>R.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>R.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
如果没有这种方法,用于精确评估积分,高斯(正常)分布将明显复杂。这种积分始终出现据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/physics/">物理据/一种>那据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/statistics/" class="wiki_link" title="统计数据GyD.F4y2Ba" target="_blank">统计数据据/一种>那GyD.F4y2Ba据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/calculus/">数学据/一种>.据/p>
内容据/H4.>据你l class="unstyled">
奇数甚至函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
奇函数据S.pan class="katex">
O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>满足据S.pan class="katex">
O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>O.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>对所有据S.pan class="katex">
X据/S.pan>.因此,对于任何有限的有限据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>T.据/S.pan>O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>
偶函数据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>满足据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>对所有据S.pan class="katex">
X据/S.pan>.因此,对于任何据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>T.据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>T.据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
请注意,Integrand是一个奇数函数。所以,据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>
最后的等价性来自于积分等于自身的负数。因此,它是据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>.据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
反射据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
与上面类似的方法是反转积分间隔:“向后积分”。为一个函数据S.pan class="katex">
F据/S.pan>和实数据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>据据/S.pan>B.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
而不是函数的中心据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>,该功能现在是以中心为中心的据S.pan class="katex">
2据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>.然后,据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
反演据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>有界限据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="反对GyD.F4y2Ba" target="_blank">反对据/一种>在据S.pan class="katex">
[据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>∞据/S.pan>]据/S.pan>.然后,通过据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="u替换GyD.F4y2Ba" target="_blank">u替换据/一种>据S.pan class="katex">
X据/S.pan>↦据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
循环点据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
本节目前是不完整的。让我们携手制造这个维基。随意添加您对此主题的任何了解!据/p>
与维护集成间隔的反射和逆反射有更多的转换,但它们并不像常见。据/p>
逆函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一GyD.F4y2Ba" target="_blank">一对一据/一种>并增加。然后,可以建立几何等价物:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是一对一的,递减的。然后,可以建立另一个几何等价:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>(据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>是一个一对一的连续功能,以便据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>4.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>6.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>和假设据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>.据/p>
计算据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
所界限的地区据S.pan class="katex">
F据/S.pan>那据S.pan class="katex">
X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>,据S.pan class="katex">
y据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>必须有区域据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>,意味着这个积分对应于面积据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>⋅据/S.pan>(据/S.pan>4.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>.上面关于递减函数的公式提供了同样的答案。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
零件一体化据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
奇函数据S.pan class="katex">
O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>满足据S.pan class="katex">
O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>O.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>对所有据S.pan class="katex">
X据/S.pan>.因此,对于任何有限的有限据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>T.据/S.pan>O.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan> 偶函数据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>满足据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>对所有据S.pan class="katex">
X据/S.pan>.因此,对于任何据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>T.据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>T.据/S.pan>E.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 评估据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 请注意,Integrand是一个奇数函数。所以,据/p>
∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>
X据/S.pan>3.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan> 最后的等价性来自于积分等于自身的负数。因此,它是据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>.据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
反射据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
与上面类似的方法是反转积分间隔:“向后积分”。为一个函数据S.pan class="katex">
F据/S.pan>和实数据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>据据/S.pan>B.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
而不是函数的中心据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>,该功能现在是以中心为中心的据S.pan class="katex">
2据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>.然后,据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
反演据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>有界限据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="反对GyD.F4y2Ba" target="_blank">反对据/一种>在据S.pan class="katex">
[据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>∞据/S.pan>]据/S.pan>.然后,通过据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="u替换GyD.F4y2Ba" target="_blank">u替换据/一种>据S.pan class="katex">
X据/S.pan>↦据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
循环点据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
本节目前是不完整的。让我们携手制造这个维基。随意添加您对此主题的任何了解!据/p>
与维护集成间隔的反射和逆反射有更多的转换,但它们并不像常见。据/p>
逆函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一GyD.F4y2Ba" target="_blank">一对一据/一种>并增加。然后,可以建立几何等价物:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是一对一的,递减的。然后,可以建立另一个几何等价:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>(据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>是一个一对一的连续功能,以便据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>4.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>6.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>和假设据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>.据/p>
计算据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
所界限的地区据S.pan class="katex">
F据/S.pan>那据S.pan class="katex">
X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>,据S.pan class="katex">
y据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>必须有区域据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>,意味着这个积分对应于面积据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>⋅据/S.pan>(据/S.pan>4.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>.上面关于递减函数的公式提供了同样的答案。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
零件一体化据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
与上面类似的方法是反转积分间隔:“向后积分”。为一个函数据S.pan class="katex">
F据/S.pan>和实数据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>据据/S.pan>B.据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 而不是函数的中心据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>,该功能现在是以中心为中心的据S.pan class="katex">
2据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>.然后,据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 评估据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 我们有据/p>
∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>3.据/S.pan>7.据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
反演据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>有界限据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="反对GyD.F4y2Ba" target="_blank">反对据/一种>在据S.pan class="katex">
[据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>∞据/S.pan>]据/S.pan>.然后,通过据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="u替换GyD.F4y2Ba" target="_blank">u替换据/一种>据S.pan class="katex">
X据/S.pan>↦据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
循环点据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
本节目前是不完整的。让我们携手制造这个维基。随意添加您对此主题的任何了解!据/p>
与维护集成间隔的反射和逆反射有更多的转换,但它们并不像常见。据/p>
逆函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一GyD.F4y2Ba" target="_blank">一对一据/一种>并增加。然后,可以建立几何等价物:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是一对一的,递减的。然后,可以建立另一个几何等价:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>(据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>是一个一对一的连续功能,以便据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>4.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>6.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>和假设据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>.据/p>
计算据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
所界限的地区据S.pan class="katex">
F据/S.pan>那据S.pan class="katex">
X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>,据S.pan class="katex">
y据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>必须有区域据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>,意味着这个积分对应于面积据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>⋅据/S.pan>(据/S.pan>4.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>.上面关于递减函数的公式提供了同样的答案。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
零件一体化据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>有界限据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/antiderivative-and-indefinite-integration/" class="wiki_link" title="反对GyD.F4y2Ba" target="_blank">反对据/一种>在据S.pan class="katex">
[据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>∞据/S.pan>]据/S.pan>.然后,通过据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/u-substitution/" class="wiki_link" title="u替换GyD.F4y2Ba" target="_blank">u替换据/一种>据S.pan class="katex">
X据/S.pan>↦据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>ln据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
循环点据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
本节目前是不完整的。让我们携手制造这个维基。随意添加您对此主题的任何了解!据/p>
与维护集成间隔的反射和逆反射有更多的转换,但它们并不像常见。据/p>
逆函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一GyD.F4y2Ba" target="_blank">一对一据/一种>并增加。然后,可以建立几何等价物:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是一对一的,递减的。然后,可以建立另一个几何等价:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>(据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>是一个一对一的连续功能,以便据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>4.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>6.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>和假设据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>.据/p>
计算据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
所界限的地区据S.pan class="katex">
F据/S.pan>那据S.pan class="katex">
X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>,据S.pan class="katex">
y据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>必须有区域据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>,意味着这个积分对应于面积据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>⋅据/S.pan>(据/S.pan>4.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>.上面关于递减函数的公式提供了同样的答案。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
零件一体化据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
本节目前是不完整的。让我们携手制造这个维基。随意添加您对此主题的任何了解!据/p>
与维护集成间隔的反射和逆反射有更多的转换,但它们并不像常见。据/p>
逆函数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一GyD.F4y2Ba" target="_blank">一对一据/一种>并增加。然后,可以建立几何等价物:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>是一对一的,递减的。然后,可以建立另一个几何等价:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>(据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>是一个一对一的连续功能,以便据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>4.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>6.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>和假设据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>.据/p>
计算据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
所界限的地区据S.pan class="katex">
F据/S.pan>那据S.pan class="katex">
X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>,据S.pan class="katex">
y据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>必须有区域据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>,意味着这个积分对应于面积据S.pan class="katex">
5.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>⋅据/S.pan>(据/S.pan>4.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>.上面关于递减函数的公式提供了同样的答案。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
零件一体化据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex"> F据/S.pan>是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="一对一GyD.F4y2Ba" target="_blank">一对一据/一种>并增加。然后,可以建立几何等价物:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
假设这个功能据S.pan class="katex"> F据/S.pan>是一对一的,递减的。然后,可以建立另一个几何等价:据/p>
∫据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>(据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex"> F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>是一个一对一的连续功能,以便据S.pan class="katex"> F据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>4.据/S.pan>和据S.pan class="katex"> F据/S.pan>(据/S.pan>6.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>和假设据S.pan class="katex"> ∫据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>.据/p>
计算据S.pan class="katex"> ∫据/S.pan>2据/S.pan>4.据/S.pan>F据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
所界限的地区据S.pan class="katex"> F据/S.pan>那据S.pan class="katex"> X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>,据S.pan class="katex"> y据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>必须有区域据S.pan class="katex"> 5.据/S.pan>,意味着这个积分对应于面积据S.pan class="katex"> 5.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>⋅据/S.pan>(据/S.pan>4.据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>.上面关于递减函数的公式提供了同样的答案。据S.pan class="katex"> □据/S.pan>
零件一体化据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
三角替代据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
用三角函来解决积分时,据一种T.一种R.GE.T.="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/trigonometric-identities">三角识别据/一种>创建快捷方式!的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/integration-of-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">三角函数的积分据/一种>Wiki对此做了详细的介绍,下面是一些例子。据/p>
第一个恒等式是据S.pan class="katex"> 罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>
我们有据/p>
∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex"> C据/S.pan>是积分常数。据/p>
以下是该身份不太明显应用的示例:据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>你据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>你据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>8.据/S.pan>.据/S.pan>
其他可以使用的例子是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/double-angle-identities/" class="wiki_link" title="二倍角公式GyD.F4y2Ba" target="_blank">二倍角公式据/一种>,可用于积分据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>那据/S.pan>和其他人一样。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>因为据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
最后,据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品到总和标识GyD.F4y2Ba" target="_blank">产品到总和标识据/一种>帮助解复积分。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>罪据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>6.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>∫据/S.pan>(据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>因为据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>8.据/S.pan>0.据/S.pan>6.据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>4.据/S.pan>0.据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan> 在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
维尔斯特拉斯替换据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan>
Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>
在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan>
威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>
这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>在区分积分时,方程变为据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>0.据/S.pan>−据/S.pan>(据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>现在,对据S.pan class="katex">
X据/S.pan>产生以下内容:据B.R.>据S.pan class="katex-display">
∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>]据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>⟹据/S.pan>∂据/S.pan>一种据/S.pan>∂据/S.pan>一世据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>.据/S.pan>与之相互依赖据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>那据/S.pan>
一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
请注意,据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display">
0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display">
一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>
使用三角函数最强大的替换之一是据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/weierstrass-substitution/" class="wiki_link" title="威尔斯特拉斯替代GyD.F4y2Ba" target="_blank">威尔斯特拉斯替代据/一种>的据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>这在涉及三角函数的合理功能中最容易看到。通过三角识别和操纵据S.pan class="katex">
罪据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>那据/S.pan>
因为据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>这通常可以将积分变为合理函数的积分,如以下示例所示:据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan> 使用威尔斯特拉斯替换据S.pan class="katex">
因为据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>和据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>:据/S.pan>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>因为据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan> 这种积分可以通过a完成据S.pan class="katex">
你据/S.pan>arctan导数的代换和应用。据S.pan class="katex">
□据/S.pan> Weierstrass替换也可以应用于相当常见的积分,据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>解决这个问题的一个常用方法是“聪明的”乘据S.pan class="katex">
1据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>但威尔斯特拉斯替代法更容易应用。据/p>
我们有据/p>
∫据/S.pan>csc据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>T.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>T.据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>T.据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>T.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan> 在哪里据S.pan class="katex">
C据/S.pan>是积分常数。据/p>
所需要的只是重新替代据S.pan class="katex">
T.据/S.pan>=据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>获得最终价值据/p>
ln据/S.pan>(据/S.pan>晒黑据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>床据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>csc据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>因为据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>.据/S.pan> 威尔斯特拉斯代换的最后一个用途是“反威尔斯特拉斯代换”,它涉及到用三角函数简化有理函数的积分。据/p>
找出…的价值据S.pan class="katex">
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>arcsin据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/p>
回想一下,在威尔斯特拉斯替换法中,据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>+据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan>然后上面的可以转化为据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>罪据/S.pan>−据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>罪据/S.pan>θ.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>2据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>θ.据/S.pan>D.据/S.pan>θ.据/S.pan>.据/S.pan> 这是多项式的积分,评估据S.pan class="katex">
1据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>
□据/S.pan>
泰勒级数据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据S.pan class="katex">
ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>那据S.pan class="katex">
arctan.据/S.pan>X据/S.pan>,据S.pan class="katex">
E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
笔记据/p>
∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>ln据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
由于单调收敛定理在这里适用,这个等于据/p>
−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>K.据/S.pan>X据/S.pan>K.据/S.pan>ln据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>K.据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>1据/S.pan>−据/S.pan>K.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∑据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>K.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>−据/S.pan>6.据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>.据/S.pan>□据/S.pan>
积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>−据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>+据/S.pan>∫据/S.pan>G据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>H据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>∂据/S.pan>X据/S.pan>∂据/S.pan>F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>)据/S.pan>D.据/S.pan>T.据/S.pan>.据/S.pan>
计算据S.pan class="katex-display">
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请注意,据S.pan class="katex">
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主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒级数据/一种>据/p>
一些功能如据S.pan class="katex">
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E.据/S.pan>X据/S.pan>挺不错的据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒GyD.F4y2Ba" target="_blank">泰勒据/一种>扩展,加上逐项的积分,可以得到一个封闭形式的答案。单调收敛定理表明,在大多数情况下,当积分确实存在时(通常应该是对积分求值时的情况),求和和积分可以互换。有关更多信息,请参见据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/multiple-integral/" class="wiki_link" title="二重积分GyD.F4y2Ba" target="_blank">二重积分据/一种>.据/p>
评估据/p>
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积分符号下的微分据/H2>据/HE.一种D.E.R.>据/D.iv>
主要文章:据一种HR.E.F="//www.parkandroid.com/wiki/differentiate-through-the-integral/" class="wiki_link" title="积分符号下的微分GyD.F4y2Ba" target="_blank">积分符号下的微分据/一种>据!!-- end-meta -->
在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
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在积分标志下的区分是评估某些积分的有用方法,这可能使用其他方法更难。Richard Feynman经常使用这种整合方法通常被称为据S.T.R.在G>费曼的集成方法据/S.T.R.在G>.据/p>
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计算据S.pan class="katex-display"> ∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>7.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>.据/S.pan>
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一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>D.据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⇒据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>一种据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex"> C据/S.pan>是积分常数。据/p>请注意,据S.pan class="katex"> 一世据/S.pan>(据/S.pan>5.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>−据/S.pan>E.据/S.pan>−据/S.pan>5.据/S.pan>X据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>0.据/S.pan>D.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>.据/S.pan>代入这些值据S.pan class="katex"> (据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>给了据S.pan class="katex-display"> 0.据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>+据/S.pan>C据/S.pan>⟹据/S.pan>C据/S.pan>=据/S.pan>−据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>⟹据/S.pan>一世据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>一种据/S.pan>.据/S.pan>获得所需的整体替代品据S.pan class="katex"> 一种据/S.pan>=据/S.pan>7.据/S.pan>:据S.pan class="katex-display"> 一世据/S.pan>(据/S.pan>7.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>ln据/S.pan>5.据/S.pan>7.据/S.pan>⟹据/S.pan>∫据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>E.据/S.pan>