不定积分和不定积分

在微积分,不定积分的一个函数 $f (x)$是一个函数 $F (x)$这样 $\压裂{d} {dx} \大(F (x) + C \大)= F (x)。$也就是，的导数 $F (x)$是 $f (x)。$这也被称为不定积分．常数 $C$称为积分常数。这个身份是第一部分微积分基本定理．

为什么我们必须有积分常数?想想。如果你对某物进行了微分并得到了结果 $2 x$你可以对多少东西求导 $2 x ?$一个无限数量: $X ^2 X ^2 + 1 X ^2 + 2 X ^2 + 2016，$等。

计算不定积分没有预定义的方法，所以有几种不同的方法集成技术已经开发出来。

求不定积分 $56 x ^{55}。$

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我们注意到 $x ^ {56}$是 $56 x ^ {56-1} = 56 x ^ {55}$和不定积分 $56 x ^ {55}$将 $x ^{56}。$

我们也可以用正态积分来计算多项式:

$56 \ int x ^ {55} \, dx = 56 \ int x ^ {55} dx = \压裂{56}{55 + 1}x ^ {55 + 1} + C = x ^ {56} + C,$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

如果 $f (x) = \ cos x$的不定积分是多少 $f (x) ?$

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从导数的极限定义，我们知道 $d \压裂{}{dx} \ sin (x) = \ cos x$．自 $\ cos x$的导数 $\ sin (x)$从不定积分的定义出发 $\ cos x$必须 $\ sin (x)$加上一个常数 $C$．因此，积分 $\ cos x$必须 $\ sin (x)$． $_ \广场$

求不定积分 $* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *$

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我们知道 $2 \√x$是 $\压裂{1}{\√6 x}$．因此,

$int \ displaystyle \ \ dfrac 3{\√6 x} \, dx = 3 \ * \大(2 \√x \大)+ C = 6 \ sqrt x + C,$

在哪里 $C$是积分常数。

我们还发现 $- 12 \ \压裂因为x$是 $\压裂{1}{2}\ sin (x)$．因此,

$左(\ \ int \ dfrac 3{\√6 x} + \ dfrac {1} {2} \ sin (x) \右)dx = 6 \√6 x - 12 \ \ dfrac因为x + c \ _ \广场$

如果 $f (x) = xe ^ {x ^ 2}$是什么 $\ \ int f (x), dx吗?$

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我们使用 $u$替换。

替换 $x ^ 2$为 $u$,我们得到 $Du = 2x\ dx$和 $x = \压裂{du} {2 dx}。$从上面，我们得到

$\压裂{1}{2}\ int e u du = ^ \压裂{1}{2}e ^ u + C = \压裂{1}{2}e ^ {x ^ 2} + C,$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

评估 $int {1+ sin x} {cos^{2} x}， dx。$

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分解被积函数得到

$\开始{对齐}\ int \ dfrac {1 + \ sin (x)}{\因为^ {2}x} \, dx & = \ int \离开(\ dfrac{1}{\因为^ {2}x} + \ dfrac {\ sin (x)}{\因为^ {2}x} \右)int dx \ \ & = \ \离开(\交会^ {2}x + \秒x \ tanx \右)dx。结束\{对齐}$

逐项积分，我们有如下熟悉的结果:

$dx= (sec^{2} x + sec x + sec x + C)$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

评估 $int x cos x, dx。$

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对于这个不定积分，我们需要用分部积分法。根据LIATE, set $U = x意味着frac{du}{dx} =1$和 $V = sin x意味着frac{dv}{dx}= cos x。$然后

$\begin{aligned} \int x \cos x \， dx &= x \sin x - \int sin x \， dx \\ &= x \sin x + cos x + C， \end{aligned}$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

评估 $int tan^{3} x sec^{2} x, dx。$

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这里，我们应该用 $u$替换 $U = tanx$．然后 $杜\压裂{}{dx} = \交会^ {2}x$，这就消失了。那么给定的表达式等于

$谭\开始{对齐}\ int \ ^ {3} x \交会^ {2}x \, dx & = \ int u ^ {3} du \ \ & = \ dfrac u ^ {4} {4} + C \ \ & = \ dfrac {\ tan ^ 4 x} {4} + C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

评估 $\int \frac{dx}{x^{2} + 3x + 2}$．

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对于这个问题，我们应该做部分分式分解。

被积函数是 $\压裂{1}{(x + 1) (x + 2)} = \压裂{一}{x + 1} + \压裂{B} {x + 2},$这给了 $A(x+2) + B(x+1) = 1。$

让 $x = 2$,然后 $B = 1。$
让 $x = 1$,然后 $一个= 1。$
然后我们可以把被积函数写成 $\frac{1}{x+ 1} - frac{1}{x+2}$．

使用 $u$-代换，我们就能得到答案 $ln左| x+ 1右| - ln左| x+2右| + C$，也可以写成

${x+1}{x+2}\ ln \left| \dfrac{x+1} \right| +C，$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$