现在我们来看一些积分函数的例子gydF4y2Ba
lngydF4y2BaxgydF4y2Ba.这些问题通常需要熟悉gydF4y2Ba分部积分法gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba替换gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
lngydF4y2Ba∣gydF4y2BafgydF4y2Ba∣gydF4y2Ba形式gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
评估gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为了解决这个问题,我们使用分部积分的原理。让gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba然后我们有gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BavgydF4y2Ba”gydF4y2BaugydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaugydF4y2BavgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BavgydF4y2BaugydF4y2Ba”gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba”gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba4gydF4y2Ba1gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
更普遍的是,gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2Ba米gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这一点的证明类似于上面的证明。gydF4y2Ba
评估gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
为了解决这个问题,我们使用gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba替换。让gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba然后自gydF4y2Ba
dgydF4y2BaugydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们知道gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaxgydF4y2BaugydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaugydF4y2BadgydF4y2BaugydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2BaugydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
更普遍的是,gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BangydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BangydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这一点的证明类似于上面的证明。gydF4y2Ba
表明,gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2Ba∣gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba∣gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
感知gydF4y2Ba
xgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba
lngydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba然后自gydF4y2Ba
(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba给定的积分会给出gydF4y2Ba
lngydF4y2Ba∣gydF4y2BafgydF4y2Ba∣gydF4y2Ba表格如下:gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2Ba∣gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba∣gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
可选择的解决方案:gydF4y2Ba我们也可以用代换法gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba
dgydF4y2BaugydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们知道gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba⋅gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaugydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaugydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2Ba∣gydF4y2BaugydF4y2Ba∣gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2Ba∣gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba∣gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
评估gydF4y2Ba
∫gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba然后自gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba
∫gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaugydF4y2BavgydF4y2Ba”gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaugydF4y2BavgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaugydF4y2Ba”gydF4y2BavgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba⋅gydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba2gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
使用公式gydF4y2Ba
∫gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们在上面学过,我们有gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba2gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
有些问题可能非常复杂,因此需要同时使用分部积分法和gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba替换。gydF4y2Ba
评估gydF4y2Ba
∫gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
我们用代换法gydF4y2Ba
tgydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba然后自gydF4y2Ba
dgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2Ba或gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba
∫gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaxgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba.gydF4y2Ba从关系中gydF4y2Ba
tgydF4y2Ba=gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba我们知道gydF4y2Ba
egydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba因此gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaxgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba.gydF4y2Ba现在我们gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba=gydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba.gydF4y2Ba然后自gydF4y2Ba
ugydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
vgydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们有gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaugydF4y2BavgydF4y2Ba”gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaugydF4y2BavgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaugydF4y2Ba”gydF4y2BavgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba.gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba再次使用分部积分法,我们有gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2Ba∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba,gydF4y2Ba把它代入gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba给了gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba⇒gydF4y2Ba2gydF4y2Ba∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba现在我们终于gydF4y2Ba
∫gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaegydF4y2BatgydF4y2Ba(gydF4y2Ba罪gydF4y2BatgydF4y2Ba−gydF4y2Ba因为gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaegydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba(gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba因为gydF4y2Ba(gydF4y2BalngydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BaCgydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba