黎曼系列定理

黎曼系列定理是以一位伟大的德国数学家命名的吗Bernhard黎曼他在分析数论和微积分领域对数学做出了很大贡献。1859年，他发表了一篇论文<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-counting-funtion/" class="wiki_link" title="'计数函数" target="_blank">'计数函数这篇论文被认为是数论领域最有影响力的论文之一。的黎曼系列定理告诉我们，如果一个无穷级数是条件收敛的，那么给定任意值 $r$，项可以排列，使级数收敛于 $r$．这是一个令人惊讶的结果，因为它显然是正确的，当我们有有限多个项时，排列项不会导致相同的变化，而且不清楚为什么有无限多个项会影响和。

考虑一个序列 $X_ {1}， X_ {2}， X_ {3}， X_ {4}， \ldots，$,让 $S_{n} = x_{1}+ x_{2} + x_{3} + \cdots + x_{n}。$

收敛级数

如果一个序列是收敛的，则称为级数 $S_{1}， S_{2}， S_{3}， \ldots$满足

$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = S，$

在哪里 $年代$是一个有限值。所以我们可以说 $n \ rightarrow \ \ lim_ {infty} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty}间{n} =$．

发散级数

如果序列是发散的，则称为级数 $S_{1}， S_{2}， S_{3}， \ldots$不收敛，即 $S_ {n},$当 $n$接近无穷，不存在。

你可以在维基上了解更多<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/summation/" class="wiki_link" title="无限的钱" target="_blank">无限的钱．

让我们来看一些例子:

显示这个系列 $1 + \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{8}+ \ cdots$是收敛的。

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给定的级数实际上是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progressions/" class="wiki_link" title="无限几何级数" target="_blank">无限几何级数最初的词 $1$和公共比率 $\压裂{1}{2}$．但我们知道无穷几何级数收敛当且仅当 $| | r < 1,$在哪里 $r$是公比。所以这个级数是收敛的。让我证明给你们看清楚

$\{对齐}开始S & = 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {8} + \ cdots \ \ 2 S & = 2 + 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {8} + \ cdots \ \ 2 S - S & = 2 \ \ S & = 2。结束\{对齐}$

所以无穷级数趋近于有限值2，因此收敛。 $_ \广场$

证明这个级数 $1 + \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{3}+ \压裂{1}{4}+ \ cdots$是不同的。

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给定的级数实际上是an<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/harmonic-series/" class="wiki_link" title="无限的调和级数" target="_blank">无限的调和级数．让 $年代$然后是求和

$\{对齐}开始S & = 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {5} + \ dfrac {1} {6} + \ dfrac {1} {7} + \ dfrac {1} {8} + \ cdots \ \ & > 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {8} + \ dfrac {1} {8} + \ dfrac {1} {8} + \ dfrac {1} {8} + \ cdots \ \ & = 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {2} + \ cdots \{对齐}结束$

它趋向于无穷。所以，级数是发散的。 $_ \广场$

考虑一个系列 $A_ {1} + A_ {2} + A_ {3} + A_ {4} + \cdots$．

称上述级数有条件收敛，当且仅当 $\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty}现代{n}$收敛和级数 $\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} |现代{n} |$发散的。

让我们看一些关于条件收敛级数的例子:

评估系列

$\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \离开(\ dfrac {1} {n} - \ dfrac {1} {n - \压裂{1}{2}}\右)。$

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我们有

$\开始{对齐}\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \离开(\ dfrac {1} {n} - \ dfrac {1} {n - \压裂{1}{2}}\右)& = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \离开(\ dfrac {2} {2 n} - \ dfrac {2} {2 n - 1} \) \ \ & = 2 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \离开(\ dfrac {1} {2 n - 1} - \ dfrac {1} {2 n} \) \ \ & = 2 \离开(1 - \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} - \ dfrac {1} {4} + \ cdots \) \ \ & = 2 \ ln (2 ) \\ &= - \ ln(4)。结束\{对齐}$

这是正确答案吗?显然,是的。我们没有做任何重排，所以根据黎曼级数定理，答案是正确的。

有一个普遍的误解，人们倾向于这样做:

${对齐}\ \开始sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \离开(\ dfrac {1} {n} - \ dfrac {1} {n - \压裂{1}{2}}\右)& = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \离开(\ dfrac {1} {n} - \ dfrac {2} {2 n - 1} \右)\ \ & = \离开(1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {4} + \ cdots \右)左(1 + - 2 \ \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {5} + \ dfrac {1} {7} + \ cdots \ ) \\ &= - \ 离开(1 - \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} - \ dfrac {1} {4} + \ cdots \ ) \\ &= - \ ln(2)。结束\{对齐}$

我们得到了一个不同的值。但是为什么呢?我们犯了什么错误吗?是的，我们犯了一个大错误。根据黎曼级数定理，当一个级数中的项重新排列时，该级数收敛到不同的值(不一定)，甚至可能发散。这就是我们得到不同值的原因。

记住，当处理无穷级数时，永远不要重新排列级数中的项。 $_ \广场$

评估这个系列的价值 $1 - \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{3}\压裂{1},{4}+ \ cdots$．

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上面的级数可以写成

$1 - \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1}, {3} \ dfrac {1} {4} + \ cdots = - \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {(1) ^ {n}} {n}。$

但是泰勒展开 $\ ln (1 - x)$是 $- \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \压裂{x ^ {n}} {n}$．

所以，上面的和变成

$1 - \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1}, {3} \ dfrac {1} {4} + \ cdots = - \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {(1) ^ {n}} {n} = \ ln \大(1 -(1)\大)= \ ln(2)。$

这是正确答案吗?显然,是的。我们没有做任何重排，所以根据黎曼级数定理，答案是正确的。 $_ \广场$