如果我们乘以这个级数
n＝0∑∞一个nxn而且n＝0∑∞bnxn
一项一项地加在一起，像幂一样<年代pan class="katex">
x，我们就会得到这样的表达
（n＝0∑∞一个nxn）（n＝0∑∞bnxn）＝＝一个0b0+（一个0b1+一个1b0）x+（一个0b2+一个1b1+一个2b0）x2+⋯n＝0∑∞（米＝0∑n一个米bn−米）xn，
这让我们不禁要问这一系列之间的关系
n＝−0∑∞一个n，n＝0∑∞bn，n＝0∑∞cn，
第三个级数是由前两个得到的通过定义
cn＝米＝0∑n一个米bn−米，n≥0．
如果起始级数是绝对收敛的，那么我们就能得到最好的结果。
命题2
如果级数<年代pan class="katex">
∑n＝0∞一个n而且<年代pan class="katex">
∑n＝0∞bn是绝对收敛的，那么也是吗<年代pan class="katex">
∑n＝0∞cn,
n＝0∑∞cn＝（n＝0∑∞一个n）（n＝0∑∞bn）．
假设<年代pan class="katex">
∑n＝0∞∣一个n∣＝一个而且<年代pan class="katex">
∑n＝0∞∣bn∣＝B．然后
n＝0∑N∣cn∣≤＝n＝0∑N米＝0∑n∣一个米∣∣bn−米∣米+n≤N∑∣一个米∣∣bn∣≤（米＝0∑N∣一个米∣）（n＝0∑N∣bn∣）≤一个B
对所有<年代pan class="katex">
N≥0，因此<年代pan class="katex">
∑n＝0∞∣cn∣收敛，这意味着<年代pan class="katex">
∑n＝0∞cn绝对收敛。
现在假设<年代pan class="katex">
∑n＝0∞一个n＝α而且<年代pan class="katex">
∑n＝0∞bn＝β．我们注意到
n＝0∑2Ncn−αβ＝（米＝0∑N一个米）（n＝0∑Nbn）−αβ+n＝0∑N−1米＝N+1∑2N−n［一个米bn+一个nb米］
因此
∣∣∣∣∣n＝0∑2Ncn−αβ∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣（米＝0∑N一个米）（n＝0∑Nbn）−αβ∣∣∣∣∣+一个米＝N+1∑∞∣b米∣+B米＝N+1∑∞∣一个米∣，
这意味着，出租<年代pan class="katex">
N→∞,这<年代pan class="katex">
∑n＝0∞cn＝αβ，按要求。<年代pan class="katex">
□
值得注意的是，如果所涉及的级数不是绝对收敛的，这个结果就不能自动成立。不绝对收敛的收敛级数称为收敛级数<年代trong>有条件地收敛．
假设<年代pan class="katex">
一个n＝bn＝n+1
（−1）n对所有<年代pan class="katex">
n≥0．然后是同一个级数<年代pan class="katex">
∑n＝0∞一个n而且<年代pan class="katex">
∑n＝0∞bn都是条件收敛的。如果我们考虑这个级数<年代pan class="katex">
∑n＝0∞cn,然后
cn＝米＝0∑n一个米bn−米＝（−1）n米＝0∑n（米+1）（n+1−米）
1（n≥0）．
利用AM-GM不等式，我们可以看到这一点
∣cn∣≥米＝0∑nn+22＝n+22（n+1）≥1
对所有<年代pan class="katex">
n≥0．因此这个级数<年代pan class="katex">
∑n＝0∞cn甚至不收敛(更不用说不收敛到期望的极限)。
