母函数
有关……
- 概率>
A.
普通的生成函数
普通的母函数就是其中一种形式
有多少种方法可以求和
1. 0,使用下面两个集合中的每一个元素:{ 2.,3.,6.,7.}和{ 3.,4.,5.,8.}?
考虑这两个多项式
x 2.+x3.+x6.+x7.和x 3.+x4.+x5.+x8.. 请注意,对于第一个多项式x N是求和的方法数吗N 使用第一个集合中的一个元素,第二个多项式也是如此。例如,系数x 4.第二个多项式是1. ,还有1. 求和的方法4. 仅使用第二组中的一个元素。现在考虑多项式的乘积:
(x2.+x3.+x6.+x7.)(x3.+x4.+x5.+x8.).
在我们展开这个乘积之前,让我们考虑一下
x N多项式乘积中的平均数:它表示求和的方法数N 每一组只取一个数字。该产品的扩展正在进行中(x2.+x3.+x6.+x7.)(x3.+x4.+x5.+x8.)=x5.+2.x6.+2.x7.+x8.+x9+3.x1.0+3.x1.1.+x1.2.+x1.4.+x1.5..
注意系数
x N是0 对于N >1.5.,因为我们的总和不能大于1. 5.从每组中选取一个。同样的道理N <5..什么时候
N =1.0,系数为3. .这意味着有3. 的方式进行1. 0. 如果我们充分利用分配公式展开乘积,我们会看到x 1.0术语来源于产品x 2.具有x 8.,x 6.具有x 4.,x 7.具有x 3..□
将意义附加到系数的思想
注:之所以使用术语“形式”,是因为这是一个代数概念,而不是分析概念。
在上面的例子中,我们可以简单地计算出制作的方法的数量
找到1个模具表面值的生成函数。找到2个骰子的面值之和的生成函数。
对于一个标准的六面模具,从1到6每个数字都有一种滚动方式。因此,我们可以将其编码为幂级数
R 1.(x)=x1.+x2.+x3.+x4.+x5.+x6.. 指数表示在模具上滚动的值,系数表示可以获得该值的方法的数量。对于掷两个骰子,我们同样可以列出可能的和,并得到
R2.(x)=x2.+2.x3.+3.x4.+4.x5.+5.x6.+6.x7.+5.x8.+4.x9+3.x1.0+2.x1.1.+x1.2..
更直接的方法是(从上面)认识到
R 2.(x)=[R1.(x)]2.,因此我们可以直接计算它,而不必计算每个单独的项。□
这个方程有多少个非负整数解
A. +B+C=2.0有什么?
首先,我们看一个更一般的问题,求方程的非负整数解的个数
A. +B+C=N. 因为A. 可以是任何非负整数0 ,1.,2.,3.,…,我,…(参见下面的注释),我们可以将其表示为生成函数A.(x)=1.+x+x2.+⋯+x我+⋯.
对于可能的值,我们有相同的生成函数
B 和C .所以解个数的生成函数是A. (x)×B(x)×C(x)=[A.(x)]3.. 然而,找到这种产品可能会非常乏味。我们改为转变
A. (x)进入有理函数1. −x1.,我们从几何级数的和中认识到。因此,我们对[ A.(x)]3.=(1.−x)3.1.. 可以使用负二项式定理GYDF4y2Ba,即 (1.−x)3.1.=(2.2.)+(2.3.)x+(2.4.)x2.+⋯+(2.我+2.)x我+⋯.
因此,答案是什么时候
N =2.0是由( 2.2.2.).这与我们从恒星和条形条的方法中所知道的是一致的。□ 注意:这可能会混淆我们为什么允许
A. 为任何非负整数,即使大于N ,这显然不会带来解决方案。想想如果我们让A. =N+1.或A. =N+2.或任何更大的整数:在多项式的最终乘积中,这些项的指数将大于N ,所以它们对我们想要的有指数的项没有贡献N .
下面的问题可以用星星和条形条来解决,但很乏味。我们可以用生成函数来解。
试试这个:
齐次线性递推关系的求解
我们首先研究用生成函数求解齐次线性递推关系的问题。通常,数字的递归关系
找到
C N明确地在哪里CN−3.CN−2.−2.CN−3.=0,对于N≥3.
和
C 2.=1.2.,C1.=5.,C0=5..
考虑生成函数
C(x)=C0+C1.x+C2.x2.+C3.x3.+⋯.
现在,既然我们得到了
C N−3.CN−2.−2.CN−3.=0让我们考虑一下函数2. x3.C(x)+3.x2.C(x)−C(x):2.x3.C(x)+3.x2.C(x)−C(x)=====−C0−C0−5.−C1.x−C1.x−5.x3.C0x2.−C2.x2.+(3.C0−C2.)x2.+3.x2..+2.C0x3.+3.C1.x3.−C3.x3.+0+2.C1.x4.+3.C2.x4.−C4.x4.+0+⋯+⋯−⋯+0…
因此,我们得到
( 2.x3.+3.x2.−1.)C(x)=−5.−5.x+3.x2.,这给了C(x)=2.x3.+3.x2.−1.−5.−5.x+3.x2.=−2.x−1.3.+x+1.3.−(x+1.)2.1..
因此,由
负二项式定理GYDF4y2Ba或 泰勒级数GYDF4y2Ba,我们可以扩展这些术语,得出结论 C(x)=N=0∑∞[3.×2.N−(−1.)N(N−2.)]xN.
因此
C N=3.×2.N−(−1.)N(N−2.).□
让我们概括一下上面的例子。假设我们有一个序列
F(x)=K=0∑∞CKxK=1.+Q1.x+Q2.x2.+⋯+QDxDM0+M1.x+M2.x2.+⋯+MJ,
我们在哪里
M0=C0M1.=C1.+Q1.C0M2.=C2.+Q1.C1.+Q2.C0.
我们可以用它来解
对于上述形式的递推关系,我们将递推的特征多项式定义为
xK+Q1.xK−1.+⋯+Qx−1.x+QK.
假设特征多项式有根
α 我与多样性M 我对于我 =1.,,…,J.那么递归关系的通解是CN=(A.1.,1.+A.1.,2.N+⋯+A.1.,M1.NM1.−1.)α1.N+⋯+(A.J,1.+A.J,2.N+⋯+A.J,MJNMJ−1.)αJN.
常数
A. 1.,1.,A.1.,2.,…,A.J,MJ,以满足初始条件。请注意,这些常量的总数为
K ,这就是为什么我们需要K 初始值。
求解非齐次线性递推关系
从齐次递归关系到非齐次递归关系的变化是我们允许方程的右边是
CN+Q1.CN−1.+Q2.CN−2.+⋯+QKCN−K=F(N).
即使有这么小的变化,解决方案也会变得复杂得多。
找到
C N,在哪里CN−3.CN−2.−2.CN−3.=4.N−2.,对于N≥3.
和
C 2.=1.2.,C1.=5.,C0=5..
考虑生成函数
C(x)=C0+C1.x+C2.x2.+C3.x3.+⋯.
现在,既然我们得到了
C N−3.CN−2.−2.CN−3.=4.N−2.让我们考虑一下函数2. x3.C(x)+3.x2.C(x)−C(x):2.x3.C(x)+3.x2.C(x)−C(x)====−C0−5.−C1.x−5.x3.C0x2.−C2.x2.+3.x2.+2.C0x3.+3.C1.x3.−C3.x3.−1.0x3.+2.C1.x4.+3.C2.x4.−C4.x4.−1.4.x4.++−−⋯⋯⋯⋯
因此,我们得到
( 2.x3.+3.x2.−1.)C(x)=−7.+x+9x2.+1.−x2.−(1.−x)2.4..这给了我们C(x)=2.x3.+3.x2.−1.−7.+x+9x2.+1.−x2.−(1.−x)2.4.=1.8.(1.+x)1.01.+9(1.−2.x)6.5.−3.(1.+x)2.1.−2.(1.−x)5.−(1.−x)2.1..
因此,由
负二项式定理GYDF4y2Ba或 泰勒级数GYDF4y2Ba,我们可以扩展这些术语,得出结论 CN=1.8.1.01.×(−1.)N+96.5.×2.N−3.1.×(N+1.)×(−1.)N−2.5.×1.N−1.×(N+1.)×(1.)N.□
注:解决此类问题的典型方法是观察以下情况:
因为我们只是在操作一个理论结构,我们实际上可以将许多函数操作应用到我们创建的生成函数上。例如,我们可以把它们相乘,甚至可以逐项积分和微分!
找一个封闭的表格
CN=我=0∑N(2.+我)2.N−我.
这个例子很简单,我们可以用蛮力来解决这个问题。然而,本着这个wiki的精神,让我们使用生成函数来解决这个问题。
定义
C(x)=C0+C1.x+C2.x2.+C3.x3.+⋯.
首先,请注意
C N可以定义为∑ A.我×BN−我,这是一个卷积。这表明我们应该定义多项式:A.(x)B(x)=2.+3.x+4.x2.+⋯+(2.+我)x我+⋯=1.−x1.+(1.−x)2.1.=(1.−x)2.2.−x,=2.0+2.1.x+2.2.x+⋯+2.我x2.+⋯=1.−2.x1..
然后,我们有
C (x)=A.(x)×B(x). 因此,通过使用生成函数,我们得到C(x)=A.(x)×B(x)=(1.−x)2.2.−x×1.−2.x1.=−1.−x3.−(1.−x)2.1.+1.−2.x6..
因此,
C N=−3.−(N+1.)+6.×2.N=6.×2.N−N−4..□
增加和减少一个母函数的指数
当我们有一个
给定某个母函数
F (x)=A.0+A.1.x+A.2.x2.+⋯,我们可以改变它的系数M 通过乘以x M:xMF(x)=A.0xM+A.1.xM+1.+A.2.xM+2.+⋯.
使用这种“移位法”技术,我们可以清楚地解决以下问题:
如果从中仅选择一个元素
{ 2.,3.,4.,…},选择一个给定的数字有多少种方法?用简化的生成函数来表达你的答案。
根据导言中的问题,我们将得到一个生成函数,其中每个项
为每一个值x NN 在集合中系数为1:x2.+x3.+x4.+⋯.
这个母函数与介绍中的母函数相似,除了它的系数右移了两个空间。使用这个,我们可以更简洁地表示这个生成函数为
x2.×1.−x1.=1.−xx2..□
母函数指数的标度
给定某个母函数
F (x)=A.0+A.1.x+A.2.x2.+⋯,我们可以把它的指数乘以M 通过将它与函数组合G (x)=xM:F(xM)=A.0+A.1.xM+A.2.x2.M+⋯.
下面是一个例子比例法:
如果从偶数集合中仅选择一个元素
{ 0,2.,4.,…},选择一个给定的数字有多少种方法?用简化的生成函数来表达你的答案。
根据导言中的问题,我们将得到一个生成函数,其中每个项
x N对于每个偶数N 其系数为1:1.+x2.+x4.+⋯.
该生成函数与引言中的生成函数类似,只是每个指数都增加了一倍。利用比例法,我们可以通过使用
ϕ (x2.):ϕ(x2.)=1.−x2.1..□
额外的问题
0.0000000001.00001.00002.00003.00005.00008.0001.3.0002.1.0003.4.0005.5.0008.9001.4.4.…
上面显示了小数表示的前几个数字(实际上是65)
注意:例如,假设分数等于
- 奖金:概括这一点。
试试丹尼尔·刘(Daniel Liu)受这个问题启发提出的问题。
- 找到
C N明确地说,在哪里C N−CN−1.−CN−2.=0和C 0=1.,C1.=1.. - 找到的一般表达式
C N哪里C N+4.CN−1.−3.CN−2.−1.8.CN−3.=N2.−3.N+5.. - 找到的一般表达式
C N,在哪里C N−CN−1.−CN−2.=2.⋅3.N. - 找到
C N明确地说,在哪里C N=CN−1.2.×CN−2.3., C0=1.,C1.=2.. (提示:考虑D N=日志YDF4y2BaGCN.) - 表明,
K =0∑N(K2.K)(N−K2.(N−K))=4.N.
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