一阶微分方程-问题求解

一阶微分方程是有用的，因为它们在物理、工程等方面的应用。它们可以线性的,可分齐次变量，或精确变量。每一个都有一个要解决的结构和方法。

有变量代换的齐次方程需要这样的形式 $\压裂{dy} {dx} = F (x, y),$与一个函数 $F (x, y)$这样 $(tx, ty) = F (x, y) \ Rightarrow F (x, y) = F \大(1 \压裂{y} {x} \大)$．我们可以做变量替换 $u = \压裂{y} {x} \ Rightarrow \压裂{dy} {dx} = \压裂{du} {dx} x + u$，得到方程(大多数时候是可分离的) $杜\压裂{}{dx} x + u = F (u)。$

解微分方程 $\压裂{dy} {dx} = \压裂{y (y + x)} {x ^ 2}。$

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首先，我们可以发现这个方程是齐次的: $\压裂{dy} {dx} = \压裂{y (y + x)} {x ^ 2} = \压裂{泰(ty + tx)} {t ^ 2 x ^ 2} = \压裂{t ^ 2 y (y + x)} {t ^ 2 x ^ 2} = \压裂{y (y + x)} {x ^ 2}。$然后，我们可以做变量的变换: $u = \压裂{y} {x} \ Rightarrow \压裂{dy} {dx} = \压裂{du} {dx} x + u,$得到可分离变量方程: $杜\开始{对齐}\压裂{}{dx} x + u = u ^ 2 + u \ \ \ \ \压裂{du} {dx} & = \压裂{u ^ 2} {x} \ \ \ \ \ int \压裂{du} {u ^ 2} & = \ displaystyle \ int \压裂{dx} {x} \ \ \ \ \压裂{1}{你}& = - \ ln (x) + C \ \ \ \ u = - \压裂{1}{\ ln (x) + C} \ \ \ \ y = - \压裂{x} {\ ln (x) + C},{对齐}\结束$在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

我们取以下微分方程: $\开始{对齐}(x, y) dy + B (x, y) dx = 0 \ \ \ Rightarrow \压裂{dy} {dx} & = - \压裂{B (x, y)} {(x, y)}。结束\{对齐}$如果有一个函数，那就太巧了 $F (x, y)$这样 $\压裂{dy} {dx} = - \压裂{\压裂{\部分F (x, y)}{\部分x}}{\压裂{\部分F (x, y)}{\偏y}} = - \压裂{\偏y} {x} \部分。$如果存在A，则微分方程是精确的 $C ^ 2$函数 $F (x, y)$这样 $(x, y) = \压裂{\部分F (x, y)}{\偏y}$和 $B (x, y) = \压裂{\部分F (x, y)} {x} \部分$． $$为了证明这样一个函数的存在，我们可以使用偏导数： $\开始{对齐}(x, y) = \压裂{\部分F (x, y)}{\偏y} & \ Rightarrow \压裂{\部分(x, y)} {x} \部分= \压裂{\部分^ 2 F (x, y)}{\部分x \偏y} \ \ B (x, y) = \压裂{\部分F (x, y)} {x} \部分& \ Rightarrow \压裂{\部分B (x, y)}{\偏y} = \压裂{\部分^ 2 F (x, y)}}{\偏y \部分x。结束\{对齐}$作为 $F$是 $C ^ 2,$我们可以得出结论 $\begin{aligned} \frac{partial ^2 F(x,y)}{\partial y} &= frac{partial x \partial y}\ Rightarrow \frac{partial A(x,y)}{partial x}&= frac{partial B(x,y)}{partial y}。结束\{对齐}$这是证明微分方程是恰当的最重要的条件。 $$当这个函数 $F$时，微分方程的解由 $F (x, y) = 0。$

解微分方程 $大(x ^ 2 y \ \ ln \大)dy + \压裂{2 \ ln (y)} {x} dx = 0。$

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在证明这是一个恰当方程的过程中 ${对齐}\ \开始压裂{\部分}{x} \部分\大(\ ln (x ^ 2 y) \大)& = \压裂{\部分}{\偏y} \离开(\压裂{2 \ ln (y)} {x} \) \ \ \压裂{2}{xy} & = \压裂{2}{xy}。结束\{对齐}$所以它是准确的，我们知道 $\开始{对齐}\ ln (x ^ 2 y) = \压裂{\部分F (x, y)}{\偏y} \ Rightarrow F (x, y) & = \ int \ ln (x ^ 2 y) dy \ \ & = y \ ln (x ^ 2 y) - \ displaystyle \ int dy \ \ & = y \大(\ ln (x ^ 2 y) + 1 \大)+ C (x) \{对齐}结束$和 $\开始{对齐}\压裂{2 \ ln (y)} {x} & = \压裂{\部分F (x, y)}{\部分x} \ \ \压裂{2 \ ln (y)} {x} & = \压裂{2}{x} + C (x) \ \ C (x) & = 2 \ ln (x) \ ln (y) 2 \ ln (x) + C \ \ F (x, y) & = y \大(\ ln (x ^ 2 y) + 1 \大)+ 2 \ ln (x) \大(\ ln (y) + 1 \大)+ C。结束\{对齐}$

微分方程的解是

$y \大(\ ln (x ^ 2 y) + 1 \大)+ 2 \ ln (x) \大(\ ln (y) + 1 \大)+ C = 0。\ _ \广场$