期望值
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应用概率
一个理解我们周围世界的框架,从体育到科学。
做出了贡献在概率论中,an期望值是数字的理论平均值<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniform-probability/" class="wiki_link" title="实验" target="_blank">实验一个>在许多重复的实验中。预期的价值是一种衡量标准集中趋势;一个结果趋向于的值。当概率分布是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/normal-distribution/" class="wiki_link" title="普通的" target="_blank">普通的一个>,多数结果将接近预期值。
任何给定的随机变量都包含着丰富的信息。它可以有许多(或无限)可能的结果,每个结果可能有不同的可能性。期望值是一种用单个数值总结所有信息的方法。
定义
如果概率实验的样本空间仅包含数值结果,那么a随机变量是代表这些结果的变量。例如,滚动公平六面模的结果是随机变量,将每个值从1到6带有概率 61.这是一个例子<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/discrete-random-variables-definition/" class="wiki_link" title="离散随机变量" target="_blank">离散随机变量一个>.
对于离散随机变量,可以通过将每个数字结果乘以该结果的可能性来计算预期值,然后将这些产品汇总在一起。公平六面模的预期值计算如下:
61(1)+61(2)+61(3.)+61(4)+61(5)+61(6)=3..5.
让 X是一个离散随机变量。然后是预期价值 X,表示 E[X]或者 μ.,是
E[X]=μ.=xσ.xP(X=x).
一堆卡包含一个标有一张卡片 1,标有两张牌 2,三张卡片上写着 3.,四张卡片上写着 4.如果堆栈被洗牌并绘制卡,则绘制卡的预期值是多少?
让 X为表示所抽牌值的随机变量。然后
P(X=1)P(X=2)P(X=3.)P(X=4)⇒E[X]=101=51=103.=52=(1×101)+(2×51)+(3.×103.)+(4×52)=3..
抽到的牌的期望值是 3..□
从测量理论的角度来看,让( ω.,F,P)是一个措施空间。要计算一般随机变量的期望或积分,我们必须按以下方式进行:注意:请访问<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/axioms-of-probability/">概率的原理一个>对于a的定义 σ.-algebra。
第1步:期望, E{X}简单随机变量的
一个随机变量, X叫做简单,如果可以写成 X=σ.我=1n一个我1一个我,这样 一个我形成一个分区 ω., 那是, ⋃我=1n一个我=ω.和 一个我∩一个j=∅∀我=j,每个 一个我=一个我.
现在我们可以定义一个简单随机变量的期望:E{X}=σ.我=1n一个我P(一个我), 在哪里 P(一个我)是一个概率测量和每个概率 一个我∈F, F是A. σ.子集的代数 ω.. E{X}等同写作 E{X}=∫X(ω.)P(dω.)或者 ∫XdP
自从划分 ω.有许多不同的陈述,我们必须表明,考虑到任何代表的选择,我们仍然以明确的期望概念结束。
的定义 E{X}对于简单的随机变量,定义很好。
证明:
让 X=σ.我=1n一个我1一个我和 Y=σ.我=1nb我1Bj是两个简单的随机变量,这样 ⋃我=1n一个我=ω.=⋃j=1米Bj在哪里 一个我∩一个l=∅∀我=l和 Bj∩Bk=∅∀j=k.注意,我们可以写出每一个 一个我=一个我∩ω.=一个我∩(⋃j=1米Bj)和每个 Bj=Bj∩ω.=Bj∩(⋃我=1n一个我).因此,我们可以重写我们的简单功能表示 X作为 X=σ.我=1n一个我1一个我=σ.我=1n一个我1一个我∩(⋃j=1米Bj).既然 一个我和 Bj是不相交的,每个 一个我∩Bj组成一个分离的联盟 ω.,因此, X=σ.我=1n一个我1一个我∩(⋃j=1米Bj)=σ.我=1nσ.j=1米一个我1一个我∩Bj.我们对简单的随机变量做同样的事情, Y=σ.j=1米σ.我=1nbj1一个我∩Bj.因此,我们让 一个我=bj在所有 一个我∩Bj=∅然后我们看到 X=σ.我=1nσ.j=1米一个我1一个我∩Bj=σ.j=1米σ.我=1nbj1一个我∩Bj=Y.现在求 X和 Y我们有 E{X}=σ.我=1nσ.j=1米一个我P(一个我∩Bj)=σ.j=1米σ.我=1nbjP(一个我∩Bj)=E{Y}因此,对简单随机变量的期望定义很好。 ■
特性
以下两个定理示出了如何通过常量进行翻译或缩放随机变量,更改预期值。解释如下。
对于随机变量 X任何常数 c,
E[X+c]=E[X]+c.
我们有
E[X+c]=xσ.(x+c)P(X+c=x+c)=xσ.xP(X=x)+xσ.cP(X=x)=E[X]+cxσ.P(X=x)=E[X]+c⋅1=E[X]+c.□
对于随机变量 X任何常数 c
E[cX]=cE[X].
根据期望的定义
E[cX]=xσ.cxP(cX=cx)=cxσ.xP(X=x)=cE[X].□
第一个定理表明,通过常量转换所有变量也通过相同的常量转换预期值。这使得直观的感觉,因为如果所有变量由常数转换,则中央或平均值也应该由常数转换。第二定理表明,通过常量缩放随机变量的值 c也将期望值标度为 c.
普通的六面模具在每个面上标有数字5到10。模具卷的预期值是多少?
从前面,我们知道一个普通的六面骰子的期望值是 E[X]=3..5.这个问题在要求 E[X+4].
因此,掷模的期望值为 3..5+4=7.5. □
在每个面上标有一个公平的六面模具,前六个正倍数为5.模具卷的预期值是多少?
从之前,常规六面模辊的预期值是 E[X]=3..5.这个问题在要求 E[5X].
因此,掷模的期望值为 3..5×5=17.5. □
现在我们展示如何计算随机变量和的期望值。
让 X和 Y是随机变量。然后
E[X+Y]=E[X]+E[Y].
掷两个公平的六面骰子。它们滚动次数总和的期望值是多少?
由之前可知,一个均匀的六面骰子的期望值为 E[X]=3..5.这个问题在要求 E[X+X].
因此,模具辊的总和的预期值是 3..5+3..5=7. □
期望的线性
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="期望的线性" target="_blank">期望的线性一个>.
以上定理可以结合起来证明:
对于任何随机变量 X1,X2,...,Xk和常量 c1,c2,...,ck,我们有
E[我=1σ.kc我X我]=我=1σ.kc我E[X我].
这被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="期望的线性" target="_blank">期望的线性一个>,即使在随机变量时也保持 X我不是独立事件。
一个公平的六面骰子要反复掷出,直到连续掷出三个六。预期的滚动次数是多少?
让 Xn表示需要获得的滚动次数的随机变量 n连续6。
为了得到 n连续六人,必须先 n-1连续6。然后, n钍连续六个卷在下一卷上发生 61概率,否则过程将在下一次滚动时重新开始 65可能性:
E[Xn]=E[61(Xn-1+1)+65(Xn-1+1+Xn)]=E[Xn-1+1+65Xn].
通过期望的线性,
E[Xn]=E[Xn-1]+1+65E[Xn].
解决 E[Xn]产量
E[Xn]=6E[Xn-1]+6.
可以发现 E[X1]=6, 所以 E[X2]=6×6+6=42, E[X3.]=6×42+6=258.
滚动直到三个连续六个连续三个连续六卷 258. □
连续随机变量
有两种类型的随机变量,离散和连续。从上面的模侧滚动示例是自离散随机变量的示例,因为该变量可以采用有限数量的离散值。从间隔选择一个随机的实数 [0,1]是连续随机变量的一个例子。
给定连续随机变量 X和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-probability-density/" class="wiki_link" title="概率密度函数" target="_blank">概率密度函数一个> f(x),预期的价值 X是由的
E[X]=∫xxf(x)dx.
给出概率密度函数 f(x)=3.x2在间隔内定义 [0,1], 什么是 E[X]?
通过上述定义,
E[X]=∫013.x3.dx=43.x4||||01=43..□
有条件的期望
让 X和 Y是离散随机变量。然后是期望值 X考虑到事件 Y=y,表示 E[X|Y=y],是
E[X|Y=y]=xσ.xP(X=x|Y=y).
假设抛硬币的次数大于2,那么5次抛硬币中抛掷正面的期望次数是多少?
在这个例子中, X5次抛硬币中“正面”的次数是多少 Y=y事件代表 X>2.
回想一下<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/conditional-probability-distribution/" class="wiki_link" title="条件概率" target="_blank">条件概率一个>: P(X=x|Y=y)=P(Y=y)P(X=x∩Y=y).
因此所需的总和是
E[X|Y]=3.(P(X>2)P(X=3.))+4(P(X>2)P(X=4))+5(P(X>2)P(X=5)).
这些概率可以用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布一个>:
P(X=3.)P(X=4)P(X=5)⇒P(X>2)=(3.5)(21)5=165=(45)(21)5=3.25=(55)(21)5=3.21=P(X=3.)+P(X=4)+P(X=5)=21.
替换这些值,
E[X|Y]=3.(2)(165)+4(2)(3.25)+5(2)(3.21)=1655.
考虑到超过2个头翻转的预期头翻转 1655=3..43.75.□
让 X为连续随机变量,设 f(x)为密度函数。让 Y=y成为一个事件,让 χrange X给予 Y=y.然后是期望值 X考虑到事件 Y=y,表示 E[X|Y=y],是
E[X|Y=y]=P(Y=y)∫x∈χxf(x)dx.
让 X为具有密度函数的连续随机变量 f(x)=2x,0<x<1.
什么是 E[X|X<21]?
在这个例子中,条件 X<21应用在随机变量上 X.受到这种情况的影响,范围 X是 0<x<21.
概率 P(X<21)可以用相同的界限计算:
P(X<21)=∫0212xdx=x2|01/2=41.
然后是期望值 X给予 X<21使用上面的公式计算。
E[X|X<21]=P(X<21)∫01/22x2dx=413.2x3.|01/2=41121-0=3.1.
预期的价值 X给予 X<21是 3.1. □
额外的工作示例
有2个袋子,每个袋子里放着编号为1到5的球。从每个袋子中取出1个球。两个球的期望值是多少?
考虑下表,它在第一行列出了第一个球的可能值,在第一列列出了第二个球的可能值。表中的每一项都是通过求这两个值的和得到的:
123.45123.45623.45673.456784567895678910
让 X为表示这些值之和的随机变量。那么,我们可以看到。的概率分布 X由下表提供:
xP(X=x)22513.2524253.5254625572548253.925210251
因此,这使我们能够计算
E[X]=2×251+3.×252+4×253.+5×254+6×255+7×254+8×253.+9×252+10×251=6.□
笔记:我们如何使用期望的线性快速到达结果?
n滚动六面骰子。什么是预期的次数 5滚动?
要确定轧制5的预期次数,我们可以定义 Y为次数的随机变量 5滚, Y我是模具的随机变量 我滚动A. 5.这是很容易看到的 E(Y我)=61×1+65×0=61.我们有 Y=我=1σ.nY我,通过期望的线性关系, E(Y)=我=1σ.nE(Y我).因此, E(Y)=6n. □
注意:我们还可以通过注意到获得每个数字的概率等于,我们获得每个数字的预期次数是相同的,因此这些预期的总和是相同的 n,所以每个数字的期望是 6n.
在数学上说,让 Z我是次数的随机变量 我推出了 n投掷。通过对称性,我们知道 E[Z我]是一个常数。由于总共有 n结果, n=Z1+Z2+Z3.+Z4+Z5+Z6.这给了我们
n=E[Z1+Z2+Z3.+Z4+Z5+Z6]=E[Z1]+E[Z2]+E[Z3.]+E[Z4]+E[Z5]+E[Z6]=6E[Z我].
考虑一系列独立硬币翻转的伯努利过程,具有头部概率的硬币 p.让 X我是一个随机变量 X我=1如果是 我钍Flip是正面 X我=0如果是 我钍翻转是反面。让 Y是一个随机变量,表示在抛硬币序列中第一次正面出现之前的试验次数。的期望值是多少 Y?
在第一次正面出现之前,抛掷硬币次数的可能值是 1,2,3.,...,这些是随机变量的可能值 Y.为了 我=1,2,3.,...,即 Y=我概率是第一个吗 我-1轨迹是尾巴和试验 我是头。这给出了分配 p(Y=我)=(1-p)我-1p,这是一个几何分布式随机变量。然后
E[Y]=我=1σ.∞我(1-p)我-1p=p(1+2(1-p)+3.(1-p)2+4(1-p)3.+⋯).
现在是 |x|<1, 我们有
1+x+x2+x3.+⋯=1-x1
对它求导
1+2x+3.x2+⋯=(1-x)21.
然后
E[Y]=p(1+2(1-p)+3.(1-p)2+4(1-p)3.+⋯)=(1-(1-p))2p=p2p=p1.□
骰子投掷实验的预期价值
骰子投掷实验可以从集合中有一个结果 {1,2,3.,4,5,6}.因此随机变量 X(掷骰子的结果)可以有 6值如下:
x1=1,x2=2,x3.=3.,x4=4,x5=5,x6=6.
对于公平的骰子, P(x1)=P(x2)=P(x3.)=P(x4)=P(x5)=P(x6)=61,暗示
E(X)=x1P(x1)+x2P(x2)+x3.P(x3.)+x4P(x4)+x5P(x5)+x6P(x6)=61×(1+2+3.+4+5+6)=3..5.□
注意:观察变量的预期值 X不需要是其中的价值 X如本例所示。
抛掷均匀硬币直到得到正面次数的期望值
让
X事件=扔硬币的次数,直到你得到一个头={H,TH,TTH,TTTH,TTTTH,...}.
然后
XP(X)={1,2,3.,4,5,...}={21,41,81,161,3.21,...}.
然后我们有 E(X)=1×21+2×41+3.×81+4×161+5×3.21+⋯.(1)
两边同时除以 2给 21E(X)=41+2×81+3.×161+4×3.21+5×641+⋯.(2)服用 (1)-(2),我们有
21E(X)⇒E(X)=21+41+81+161+3.21+641+⋯=1-2121=1=2.□
解决问题
-$10 $0 +$10 +$∞拉斯维加斯赌场Magnicifecto很难把酒店客人吸引到赌场。赌场空无一人促使管理层采取严厉措施,他们决定放弃减持。他们决定提供一个“均价”游戏——无论玩家下注的大小 (说 $一个),他将获得50%的几率 +$一个,他会得到50%的几率 -$一个.他们觉得由于每场比赛的预期价值为0,因此长期以来,他们不应该制造或失去金钱。
斯克罗吉在度假,决定利用这种偶数游戏。他有一个无限的银币(金钱),并决定以下列方式播放第一轮(全系列):
- 他先打了个赌
$10.
如果他赢了,他会保留他的收入和叶子。 每当他失去时,他都会加倍他之前的赌注的大小并再次播放。
现在,来自这一轮子的Scrooge(总计)奖金的预期价值是多少(在他离开时结束)?
“圆”是指上面玩的整个系列游戏。这个问题是指整个轮。存在的问题中有4轮。
这个问题是大大或回家的一部分,探讨了预期值的线性。
图片来源:维基百科
引用如下:期望值。bright.org..检索到从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/">//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/一个>掌握这些概念
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- 他先打了个赌
$10.