单位圆

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的<年代trong>单位圆是以坐标平面原点为圆心，半径为1单位的圆。

单位圆基本上与概念有关<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trigonometry/" class="wiki_link" title="三角函数" target="_blank">三角函数．的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数" target="_blank">三角函数可以用单位圆来定义，这样做，这些函数的定义域扩展到所有实数。

单位圆也是相关的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复数" target="_blank">复数．图中可以画出一个单位圆<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-plane/" class="wiki_link" title="复平面" target="_blank">复平面,所有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/roots-of-unity/" class="wiki_link" title="统一的根源" target="_blank">统一的根源将放在这个圆上。

直角三角形关系

单位圆上的每一点都对应一个直角三角形，这个直角三角形的顶点位于原点和单位圆上的点。直角三角形的边长等于<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 和<年代pan class="katex"> $y$ $y$ 坐标,分别。

这个直角三角形用于应用三角关系。

$数组{}{rll} \ \开始罪(\θ)& = \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}& = \压裂{b} {c} \ \ \ \ \ cosθ(\)& = \压裂{\文本{相邻}}{\文本{斜边}}& = \压裂{一}{c} \ \ \ \ \ tan(\θ)& = \压裂{\文本{相反}}{\文本{相邻}}& = \压裂{b}{} \ \ \ \ \{数组}结束$

因为直角三角形的斜边总是1单位长，所以<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 和<年代pan class="katex"> $y$ $y$ 圆上一点的坐标总是分别等于这个角的余弦和正弦<年代pan class="katex"> $\θ。$ $θ ．$

这个角的单位是<年代trong>弧度，对应于从该点绕单位圆的距离<年代pan class="katex"> $(1,0)。$ $（ 1 ， 0 ）．$ 单位圆的周长是<年代pan class="katex"> $2 \π,$ $2 π ，$ 所以<年代pan class="katex"> $2 \π$ $2 π$ 弧度等于360度<年代pan class="katex"> $^ \保监会。$ $^{\circ} ．$ 任何小于360度的角<年代pan class="katex"> $^ \保监会$ $^{\circ}$ 可以表示为<年代pan class="katex"> $2 \π$ $2 π$ 弧度。例如，a90<年代pan class="katex"> $^ \保监会$ $^{\circ}$ 角等于<年代pan class="katex"> $\压裂{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ 绕圆的路径，也就是<年代pan class="katex"> $\压裂{2 \π}{4}= \压裂{\π}{2}。$ $\frac{2 π}{4} ＝ \frac{π}{2} ．$

的一些可能值<年代pan class="katex"> $\θ$ $θ$ ，以及它们对应的正弦和余弦值。

$\begin{array} {| c | c | c |} \hline \text{角度测量，} \θ& \罪\θ& \ cosθ\ \ \ \线0 & 0 & 1 \ \ \线\ dfrac{\π}{6}& \ dfrac {1} {2} & \ dfrac {\ sqrt{3}}{2} \ \ \线\ dfrac{\π}{4}& \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} & \ dfrac {\ sqrt{2}}{2} \ \ \线\ dfrac{\π}{3}& \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} & \ dfrac{1}{2} \ \ \线\ dfrac{\π}{2}& 1 & 0 \ \ \线\{数组}结束$

到目前为止，我们所熟悉的三角学仅仅是基于直角和锐角。然而，在单位圆的帮助下，我们可以扩展我们对三角函数的理解，并熟悉非锐角的使用。

更多关于角度测量的圆形系统的信息可以在上面找到<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/degrees-radian/">它的wiki页面．

单位圆上的角

单位圆上的角度总是从正角开始测量<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 轴，其顶点在原点。它被测量到单位圆上的一点。从原点开始并包含单位圆上的点的射线叫做<年代trong>终边．

如果从正方向逆时针测量一个角，就称其为正角<年代pan class="katex"> $x$ $x$ -轴和负，如果是从顺时针方向测量<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 设在。

自<年代pan class="katex"> $2 \π\文本{rad} = 360 ^ \保监会,$ $2 π rad ＝ 3. 6 0^{\circ} ，$ 任何角度的测量都可以转换成弧度，反之亦然。

让<年代pan class="katex"> $d$ $d$ 是角的度数，让<年代pan class="katex"> $r$ $r$ 这个角的单位是弧度。

$R = rfrac {rpi d}{180}$

$r d = \压裂{180}{\π}$

单位圆的坐标

一个直角三角形<年代pan class="katex"> $国内企业$ $一个 O B$ 成直角<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 位于笛卡尔平面上<年代pan class="katex"> $\眉题{OA}$ $\overline{O 一个}$ 躺在<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 设在,点<年代pan class="katex"> $O$ $O$ 位于原点和点上<年代pan class="katex"> $B$ $B$ 位于单位圆上的任何地方。请注意,<年代pan class="katex"> $OB = 1$ $O B ＝ 1$ 单位。

正弦和余弦三角函数如下所示。当用单位圆定义这些函数时，它的长度可能是负的。如果<年代pan class="katex"> $\眉题{OA}$ $\overline{O 一个}$ 沿着负方向<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 设在,然后<年代pan class="katex"> $办公自动化$ $O 一个$ 被认为是负面的。同样地,如果<年代pan class="katex"> $\眉题{AB}$ $\overline{一个 B}$ 延伸到<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 设在,然后<年代pan class="katex"> $AB$ $一个 B$ 被认为是负面的。

$\开始{对齐}\罪(\θ)& = \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}= \压裂{AB} {OB} = \压裂{AB} {1} = AB \ \ \ cosθ(\)& = \压裂{\文本{相邻}}{\文本{斜边}}= \压裂{OA} {OB} = \压裂{OA} {1} = OA。结束\{对齐}$

根据这种惯例，角的正弦值被认为是<年代pan class="katex"> $y$ $y$ 点在单位圆上的坐标。同样，角的余弦也被认为是<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 点在单位圆上的坐标。一般来说，求任意角度的正弦或余弦值<年代pan class="katex"> $\θ,$ $θ ，$ 看这个角在单位圆上的坐标。

单位圆上的特殊角

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/special-angles-on-unit-circle/" class="wiki_link" title="单位圆上的特殊角" target="_blank">单位圆上的特殊角

特殊角是单位圆上坐标已知的角。这些坐标可以用直角三角形关系求解。

$单位圆上的16个特殊角度(以弧度计)，每一个都标记在终点处。$

已知一条直线穿过单位圆，角度是这个<年代pan class="katex"> $\θ= \ dfrac{\π}{4}$ $θ ＝ \frac{π}{4}$ 找到x, y。参考给定的图表。

我们知道<年代pan class="katex"> $\开始{病例}\ cosθ(\)= x \ \ \罪(\θ= y \{病例}结束$ $｛因为（ θ ）＝ x 罪（ θ ）＝ y$ ．求出的值<年代pan class="katex-display"> $x = \ \{病例}开始dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ \ y = \ dfrac {\ sqrt{2}}{2} \{病例}结束$ 我们正在做<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

一条直线在点通过单位圆<年代pan class="katex"> $x = \ dfrac {1} {2}$ $x ＝ \frac{1}{2}$ ．找出…的价值<年代pan class="katex"> $谭\ ^ 2θ(\)$ $棕褐色^{2} （ θ ）$

首先，我们知道这一点<年代pan class="katex"> $x ^ 2 = \ cosθ(\)^ 2 = \ dfrac {1} {4}$ $x^{2} ＝因为^{2} （ θ ）＝ \frac{1}{4}$ ．我们也知道<年代pan class="katex"> $y ^ 2 =罪\ ^ 2θ(\)= 1-cos ^ 2θ(\)= \ dfrac {3} {4}$ $y^{2} ＝罪^{2} （ θ ）＝ 1 - c o 年代^{2} （ θ ）＝ \frac{3.}{4}$ ．用另一个三角恒等式<年代pan class="katex"> $\ tan ^ 2(\θ= \ dfrac{\罪^ 2θ(\)}{\ cos ^ 2θ(\)}= \盒装{3}$ $棕褐色^{2} （ θ ）＝ \frac{罪 ^{2} （ θ ）}{因为 ^{2} （ θ ）} ＝ 3.$ 我们正在做<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

R = 0

R≤0

R < 0

R > 0

如果<年代pan class="katex"> $R = sin130 ^ circ+ cos130 ^ circ$ $R ＝罪 1 3. 0^{\circ} + 因为 1 3. 0^{\circ}$ ，那么下面哪个选项是正确的?

内容

图片来源:维基百科