中间值定理的逆gydF4y2Ba

一个函数gydF4y2Ba $f: [a,b] \to \mathbb{R}gydF4y2Ba$据说有gydF4y2Ba中值属性gydF4y2Ba(IVP)如果，为所有gydF4y2Ba $x \ \[大\敏\大f (f (a)、(b) \大),~ \马克斯\大f (f (a)、(b) \大)\]大,gydF4y2Ba$存在gydF4y2Ba $c \ [a, b]gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $F (c) = xgydF4y2Ba$．换句话说，gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$之间的每一个值有IVP吗gydF4y2Ba $f (a)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $f (b)gydF4y2Ba$在间隔中的某一点gydF4y2Ba $[a, b]gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba中间值定理gydF4y2Ba声明如果gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba连续gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$有IVP。这一事实引出了是否存在具有IVP的不连续函数的问题。怎么会有这样的功能呢?本文将通过构造一个非连续函数集合来解决这个问题gydF4y2Ba $\mathbb{R} \到\mathbb{R}gydF4y2Ba$有IVP的人gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $f: \mathbb{R} \到\mathbb{R}gydF4y2Ba$是一个函数。一个电话gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$强烈满射gydF4y2Ba如果在任何间隔内gydF4y2Ba $[a,b] \子集\mathbb{R}gydF4y2Ba$，下该区间的图像gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $R \ mathbb {}gydF4y2Ba$．在符号,gydF4y2Ba $f([a,b]) = \mathbb{R}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

任何强烈的gydF4y2Ba满射gydF4y2Ba函数在实线的任意子区间上肯定满足IVP。因此，它足以构造一个强满射函数。通过下面的参数，这些函数总是，gydF4y2Ba不是连续的gydF4y2Ba在任何时候gydF4y2Ba $R \ mathbb {}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $f: \mathbb{R} \到\mathbb{R}gydF4y2Ba$是强满射函数。假设gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是连续的gydF4y2Ba $x \ \ mathbb {R}gydF4y2Ba$．由gydF4y2Baε-δgydF4y2Ba连续性的公式，这意味着对于任何gydF4y2Ba $\epsilon > 0gydF4y2Ba$，存在gydF4y2Ba $\delta > 0gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $Y \in (x-\delta, x+\delta)gydF4y2Ba$意味着gydF4y2Ba $F (y) \in (F (x) - \ \， F (x) + \ \gydF4y2Ba$．但是由于强烈的满射，gydF4y2Ba $(f (x) - \ε,f (x) + \ε)\ supset f (x - \δx + \δ))\ supset f (x (x - \δ/ 2,+δ/ 2 \])= \ mathbb {R}。gydF4y2Ba$这是不可能的除非gydF4y2Ba $\epsilon = \inftygydF4y2Ba$，这是荒谬的，因为gydF4y2Ba $\εgydF4y2Ba$是一个有限实数。通过矛盾，我们得出结论gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$不是连续的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

在gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba，两个整数gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$被认为是模等价的gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$除以的余数相同gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．这和要求一样gydF4y2Ba $x - ygydF4y2Ba$是的倍数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．如果gydF4y2Ba $n \ mathbb {Z}gydF4y2Ba$的倍数的集合gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$，那么这个可以重新表述为gydF4y2Ba $x - y \ n \ mathbb {Z}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

我们可以在更一般的环境中做类似的事情。让gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba理想的gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $R \ mathbb {}gydF4y2Ba$．声明gydF4y2Ba $x, y \in \mathbb{R}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba等效gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba $x - y \ SgydF4y2Ba$．这是一个gydF4y2Ba等价关系gydF4y2Ba，表示通过这种方法得到的等价类集合gydF4y2Ba $R \ mathbb {} / SgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $S = \mathbb{Q}gydF4y2Ba$，则得到集合gydF4y2Ba $R \ mathbb {} / \ mathbb {Q}gydF4y2Ba$．这一套配备了一个天然的gydF4y2Ba满射gydF4y2Ba地图gydF4y2Ba $p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Q}gydF4y2Ba$它将每个实数发送到它的等价类中gydF4y2Ba $R \ mathbb {} / \ mathbb {Q}gydF4y2Ba$．事实上,gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$具有比满射性更强的性质;事实上gydF4y2Ba $p(I) = \mathbb{R}/\mathbb{Q}gydF4y2Ba$对于任何区间gydF4y2Ba $I \子集\mathbb{R}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $I = [a,b]gydF4y2Ba$(如果gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$不是封闭区间，请将其替换为自身的封闭子区间)。对于任何gydF4y2Ba $x \ \ mathbb {R}gydF4y2Ba$,让gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$是一个有理数，使gydF4y2Ba $A-x \le q \le b-xgydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $X +q \in [a,b]gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $P (x+q) = P (x)gydF4y2Ba$的任何元素gydF4y2Ba $R \ mathbb {} / \ mathbb {Q}gydF4y2Ba$被某个数字映射到gydF4y2Ba $[a, b]gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

因为投影gydF4y2Ba $p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Q}gydF4y2Ba$的任意子区间是满射吗gydF4y2Ba $R \ mathbb {}gydF4y2Ba$，要构造一个强烈的满射函数，作曲就足够了gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$加上一个射空gydF4y2Ba $g: \mathbb{R}/\mathbb{Q} \到\mathbb{R}gydF4y2Ba$．这样的射空存在吗?gydF4y2Ba

对于一组来说gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$，表示为gydF4y2Ba $|的|gydF4y2Ba$它的gydF4y2Ba基数gydF4y2Ba．通过gydF4y2Ba拉格朗日定理gydF4y2Ba大家都知道gydF4y2Ba $| \ mathbb {R} | = | \ mathbb {Q} | \ cdot | \ mathbb {R} / \ mathbb {Q} | = \马克斯(| \ mathbb {Q} |, | \ mathbb {R} / \ mathbb {Q} |)。gydF4y2Ba$有一个注射gydF4y2Ba $\mathbb{N} \to \mathbb{R}/\mathbb{Q}gydF4y2Ba$给出的gydF4y2Ba $N \mapsto \{\text{N \pi\}的等价类gydF4y2Ba$．由此可见gydF4y2Ba $| \ mathbb {R} / \ mathbb {Q} ge | | \ \ mathbb {N} | = | \ mathbb {Q} |gydF4y2Ba$，因此gydF4y2Ba $|\mathbb{R}| = |\mathbb{R} /\mathbb{Q}|gydF4y2Ba$．让gydF4y2Ba $g: \mathbb{R}/\mathbb{Q} \到\mathbb{R}gydF4y2Ba$做一个双射。gydF4y2Ba

然后,gydF4y2Ba $g\circ p: \mathbb{R} \到\mathbb{R}gydF4y2Ba$是一个强满射函数。事实上，因为这对任何双射都成立gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$，该结构产生了一个强满射函数族，每个双射对应一个。gydF4y2Ba