当一个系统包含相对较少的同余数时,存在一个应用中国余数定理的有效过程。gydF4y2Ba
解同余方程组gydF4y2Ba
⎩gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎨gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎧gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba6gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba7gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
从模量最大的同余开始,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba6gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba7gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba把这个同余改写成一个等价方程:gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba7gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于某个整数gydF4y2BajgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
将这个表达式替换为gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba与第二大模量相等:gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⟹gydF4y2Ba7gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba6gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
然后解这个同余gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把这个同余改写成一个等价方程:gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba=gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于某个整数gydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
将这个表达式替换为gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba转换为表达式gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
xgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba7gydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba6gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
现在把这个表达式代入gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba变成最后的同余,并解出的同余gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2BakgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba0gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把这个同余式写成方程,然后代入表达式gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba转换为表达式gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
kgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于某个整数gydF4y2BalgydF4y2Ba.gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2BalgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba5gydF4y2BalgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这个方程暗示了同余性gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这恰好是同余方程组的解。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
用中国余数定理求解同余系的方法:gydF4y2Ba
对于一个同余系统,其过程如下:gydF4y2Ba
从模量最大的同余开始,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba把这个模量写成方程,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2BajgydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于某个正整数gydF4y2Ba
jgydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
将表达式替换为gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba与第二大模量同余,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba⟹gydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2BajgydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
解这个同余gydF4y2Ba
jgydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把解出的同余写成方程,然后把这个表达式代入gydF4y2Ba
jgydF4y2BakgydF4y2Ba在方程中gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
继续代入和解同余,直到方程gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba暗示了同余系统的解。gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba
一个装有金币的盒子。gydF4y2Ba
如果六个朋友平分这些硬币,还剩下四枚。gydF4y2Ba
如果五个朋友平分这些硬币,还剩下三枚。gydF4y2Ba
如果盒子里的硬币数量最小,满足这两个条件,那么七个朋友平分后,还剩下多少硬币?gydF4y2Ba
中国余数定理可以应用于模不是共素数的系统,但这种系统的解并不总是存在的。gydF4y2Ba
解同余方程组gydF4y2Ba
{gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba5gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
注意,模的最大公约数是2。第一个一致性意味着gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba第二个同余也意味着gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba因此,这两个同余之间没有冲突。事实上,同余系统可以通过将模的GCD从第一个同余的模中分离出来,简化为一个更简单的同余系统:gydF4y2Ba
{gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把第二个同余写成方程:gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba8gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
代入第一个同余并求解gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
8gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2BajgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把这个同余写成方程,然后代入方程gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
jgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba=gydF4y2Ba8gydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba4gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这给了gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba2gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba作为同余系统的解。请注意,gydF4y2Ba
中国大陆gydF4y2Ba(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
一所学校的学生人数在500到600人之间。如果我们把他们分成12人、20人或36人一组,总是会剩下7个学生。这所学校有多少学生?gydF4y2Ba
一个同余方程组是否有解取决于同余对之间是否存在冲突。gydF4y2Ba
证明同余系统不存在解:gydF4y2Ba
⎩gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎨gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎧gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba5gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba9gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba7gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba1gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
注意,每个模量都能被3整除。第一个和第二个同余暗示gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba然而,第三个一致性意味着gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba因为这两个都不可能成立,所以同余方程组没有解。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
一个线性同余方程组有解当且仅当对于方程组中的每一对同余,gydF4y2Ba
{gydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba我gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2Ba我gydF4y2Ba)gydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BajgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BajgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba我gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BajgydF4y2Ba(gydF4y2Ba国防部gydF4y2BaggydF4y2BacdgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2BajgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
此外,如果解存在,那么它们就是这样的形式gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2BabgydF4y2Ba(gydF4y2Ba国防部gydF4y2Ba中国大陆gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba...gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba
对于某个整数gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
婆罗门笈多有一个装满鸡蛋的篮子。当他每次从篮子里拿出2个鸡蛋时,还剩下1个。每次取出3个,还剩下2个鸡蛋。同样地,当他每次取出4个、5个和6个鸡蛋时,他发现剩下的鸡蛋分别是3个、4个和5个。然而,当他一次取出7个鸡蛋时,就没有剩下的鸡蛋了。gydF4y2Ba
婆罗门笈多的篮子里蛋的最少数量是多少?gydF4y2Ba