当系统中包含相对较少的同余项时,应用中国余数定理是一个有效的过程。gydF4y2Ba
解同余方程组gydF4y2Ba
⎩gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎨gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎧gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba6gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba7gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
从最大模的同余开始,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba6gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba7gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba把这个同余写成一个等价方程:gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba7gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于一些整数gydF4y2BajgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
将这个表达式替换为gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba与第二大模相等:gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⟹gydF4y2Ba7gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba6gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
然后解出这个同余gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把这个同余写成一个等价方程:gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba=gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于一些整数gydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
将这个表达式替换为gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba在for表达式中gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
xgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba7gydF4y2Ba(gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba6gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
现在把这个表达式代入gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba求出最后的全等,并解出全等gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba5gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2BakgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba0gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把这个同余写成方程,然后代入gydF4y2Ba
kgydF4y2Ba在for表达式中gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
kgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于一些整数gydF4y2BalgydF4y2Ba.gydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2BalgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba5gydF4y2BalgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这个方程暗示了同余gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba1gydF4y2Ba0gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这恰好是同余方程组的解。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
用中国剩余定理求解同余方程组的过程:gydF4y2Ba
对于同素模的同余系统,其过程如下:gydF4y2Ba
从最大模的同余开始,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba把这个模数写成方程,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2BajgydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba,gydF4y2Ba对于某个正整数gydF4y2Ba
jgydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
将表达式替换为gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba和第二大模相等,gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba⟹gydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2BajgydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
解出这个全等gydF4y2Ba
jgydF4y2BakgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把解出的同余写成一个方程,然后把这个表达式代入gydF4y2Ba
jgydF4y2BakgydF4y2Ba代入方程gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
继续代入并解同余,直到方程为gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba暗指同余方程组的解。gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba
一个装有金币的盒子。gydF4y2Ba
如果这些硬币平分给六个朋友,就会剩下四枚。gydF4y2Ba
如果把硬币平分给五个朋友,就会剩下三个硬币。gydF4y2Ba
如果盒子里有满足这两个条件的最小数量的硬币,那么当七个朋友平均分配时,还剩下多少硬币?gydF4y2Ba
中国余数定理可以应用于模非共素数的系统,但这种系统的解并不总是存在的。gydF4y2Ba
解同余方程组gydF4y2Ba
{gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba5gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
注意模的最大公约数是2。第一个同余意味着gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba第二个同余也意味着gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba因此,这两种一致性之间不存在冲突。事实上,通过将模的GCD除以第一个同余的模,可以把这个同余系统简化为一个更简单的同余系统:gydF4y2Ba
{gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
将第二次同余写成方程:gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba8gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
代入第一个同余项,求出gydF4y2Ba
jgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
8gydF4y2BajgydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2BajgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把这个同余写成一个方程,然后代入方程gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba:gydF4y2Ba
jgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba3.gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba=gydF4y2Ba8gydF4y2Ba(gydF4y2Ba3.gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba4gydF4y2BakgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这给了gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba2gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba作为同余方程组的解。请注意,gydF4y2Ba
中国大陆gydF4y2Ba(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
一所学校的学生人数在500到600人之间。如果我们把他们分成12个、20个或36个小组,总能剩下7个学生。这个学校有多少学生?gydF4y2Ba
一个同余方程组是否有解取决于同余对之间是否存在冲突。gydF4y2Ba
证明同余方程组没有解:gydF4y2Ba
⎩gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎨gydF4y2Ba⎪gydF4y2Ba⎧gydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba5gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba9gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba7gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba1gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
注意,每个模数都能被3整除。第一个和第二个同余意味着gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba然而,第三个一致性意味着gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba因为这两个不可能是真的,所以这个同余方程组就没有解了。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
线性同余方程组有解当且仅当对于方程组中的每一对同余,gydF4y2Ba
{gydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba我gydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2Ba我gydF4y2Ba)gydF4y2BaxgydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BajgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2BaogydF4y2BadgydF4y2BangydF4y2BajgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba我gydF4y2Ba≡gydF4y2Ba一个gydF4y2BajgydF4y2Ba(gydF4y2Ba国防部gydF4y2BaggydF4y2BacdgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2BajgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
此外,如果存在解,那么它们就是这种形式gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba≡gydF4y2BabgydF4y2Ba(gydF4y2Ba国防部gydF4y2Ba中国大陆gydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba…gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba
对于一些整数gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
Brahmagupta有一篮子鸡蛋。当他每次从篮子里拿出2个鸡蛋时,还剩下1个鸡蛋。每次取出3个,还剩下2个。同样地,当他一次取出4、5和6个鸡蛋时,他发现余数分别是3、4和5。然而,当他一次取出7个鸡蛋时,就没有剩下鸡蛋了。gydF4y2Ba
布拉玛格普塔篮子里最少能放多少鸡蛋?gydF4y2Ba