三维坐标几何-平面方程

一种飞机是一个平面的二维表面，无限延伸。平面是点（零维）、线（一维）和三维空间的二维模拟。三维空间中的平面具有以下等式

$斧头+ + cz + d = 0，$

其中至少有一个数字 $A，B，$和 $C$必须为非零。三维坐标空间中的平面由垂直于该平面的点和向量确定。

这个维基页面致力于从不同的角度寻找平面方程。

3D坐标空间中的平面由垂直于该平面的点和向量决定。让 $p_ {0} =（x_ {0}，y_ {0}，z_ {0}）$给出了要点，并且 $\过右箭头{n}$正交向量。另外，让我们 $p =（x，y，z）$在平面上的任何一点，并且 $R.$和 $r_ {0}$点的位置矢量 $P.$和 $p_ {0}，$分别地现在，如果我们让 $\超级arraw {n} =（a，b，c），$那么从 $\超级arrow {p_ {0} p}$垂直于 $\超级arraw {n}，$我们有

$\开始{aligned}\overrightarrow{P{0}P}\cdot\overrightarrow{n}&=（\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r{0}）\cdot\overrightarrow{n}\\&=（x-x{0}，y-y{0，z-z{0}）cdot（a，b，c）\&=a（x-x{u0}+-y}+u0}z}\结束{对齐}$

我们还可以将上面的平面方程写为

$斧头+ + cz + d = 0，$

在哪里 $d = - （ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}）。$

如果其中一个，这并不完全奏效 $A，B，C$是零。在这种情况下，向量与其中一个坐标平面平行。说 $C = 0.$然后矢量平行于 $XY$-plane和所需平面的等式是 $a（x-x{0}）+b（y-y{0}）=0$这当然是一条直线 $XY$平面和 $Z.$不受限制。类似的参数适用于两个 $A，B，C$是零。

另一种考虑平面方程的方法是把它看作一个扁平的平行六面体。一个扁平的平行六面体，由三个向量组成 $\ vec {a} = \ left \ langle x_ {1}，y_ {1}，z_1 \ light \ rangle，\ vec {b} = \ left \ langle x_2，y_2，z_2 \ rick \ rangle，\ vec {c} = \左\ langle x_3，y_3，z_3 \右\ rangle$，有卷0.我们可以使用标量三重产品来计算此卷：

$0 = \ vec {a} \ cdot \ big（\ vec {b} \ times \ vec {c} \ big），$

在哪里 $\ big（\ vec {b} \ times \ vec {c} \ big）$给出垂直于平面的向量。

让我们说那个终点 $\ big（\ vec {b} \ times \ vec {c} \ big）$是 $（x，y，z）$和 $（x_0，y_0，z_0）$和组成部分 $\ vec {a}$是 $\左\ langle a，b，c \右\ rangle$。然后通过拍摄圆点产品，我们得到一个飞机的等式，即

$0=a（x-x_0）+b（y-y_0）+c（z-z_0）。$

下面是一个需要尝试的问题：

平面与每个平面的方程 $XY$-, $yz.$-， 和 $zx$- 普通并经历一点 $a =（a，b，c）$确定如下：

1）平面平行的平面的等式 $XY$-飞机是 $z = c。$
2） 平行于平面的平面方程 $yz.$-飞机是 $x=a。$
3）平面平行的平面的等式 $zx$-飞机是 $y=b。$

这是一个基于上述的示例：

穿过该点的平面的等式是什么 $B =（4,1,0）$并平行于 $yz.$-飞机？

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自从 $X$-坐标 $B.$是4，通过的平面的方程 $B.$平行于 $yz.$-飞机是

$x=4.\_\广场$

尝试以下问题：

如果我们知道平面的正常矢量和通过平面的点，则建立平面的等式。

因此，平面通过一点的方程 $A=（x{1}，y{1}，z{1}）$其法向量为 $\过右箭头{n}=（a、b、c）$是

$a（x-x{1}）+b（y-y{1}）+c（z-z{1}）=0。$

查看以下示例：

如果平面通过该点 $A=（1,3,2）$并具有正常的矢量 $\过右箭头{n}=（3,2,5），$那么飞机的等式是什么？

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通过的平面的方程 $A=（1,3,2）$并具有正常的矢量 $\ oveRightarrow {n} =（3,2,5）$是

$\ begin {对齐} 3（x-​​1）+ 2（y-3）+ 5（z-2）+ 0 \\ 3x - 3 + 2y - 6 + 5z - 10＆= 0 \\ 3x + 2y +5Z - 19＆= 0。\ _ \ square \结束{对齐}$

如果平面通过该点 $A=（5,6,2）$并具有正常的矢量 $\超级arraw {n} =（-1,3，-7），$那么飞机的等式是什么？

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通过该点的平面的方程 $A=（5,6,2）$并具有正常的矢量 $\超级arrow {n} =（-1,3，-7）$是

$\ begin {对齐} -1（x-5）+ 3（y-6）-7（z-2）＆= 0 \\ -x + 5 + 3y-18-7z + 14＆= 0 \\ -x+ 3Y-7Z + 1＆= 0。\ _ \ square \结束{对齐}$

尝试以下问题：

当我们在平面上知道三个点时，我们可以通过求解同步方程来找到平面的等式。

让 $AX + by + CZ + D = 0$是平面的等式，其中有以下三点： $a =（1,0,2），b =（2,1,1），$和 $C=（-1,2,1）。$然后平面的等式建立如下：

我们已经有了含有4个未知常数的平面方程：

$ax+by+cz+d=0\qquad（1）$

我们还通过替换 $A、 B,，$和 $C$进入 $(1):$

$\ begin {senugented} a \ cdot 1 + b \ cdot 0 + c \ cdot 2 + d＆= 0 \\ a \ cdot 2 + b \ cdot 1 + c \ cdot 1 + d＆= 0 \\ a \ cdot（-1）+ B \ CDOT 2 + C \ CDOT 1 + D＆= 0，\ END {对齐}$

给 $B = 3a，c = 4a，d = -9a。QQuad（2）$

替代 $（2）$进入 $（1），$我们有

$\开始{aligned}ax+3ay+4az-9a&=0\\x+3y+4z-9&=0\结束{对齐}$

因此，通过三个点的平面方程 $a =（1,0,2），b =（2,1,1），$和 $C=（-1,2,1）$是

$x+3y+4z-9=0。$

使用这种方法，如果我们知道三点，我们可以找到平面的等式。以下是一些例子：

如果一个平面通过这三个点 $a =（0,0,2），b =（1,0,1），$和 $C =（3,1,1），$那么飞机的等式是什么？

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让飞机的等式成为 $AX + + CZ + D = 0。QQuad（1）$

然后这个平面包括三个点 $a =（0,0,2），b =（1,0,1），$和 $C =（3,1,1），$我们有

$\开始{aligned}a\cdot 0+b\cdot 0+c\cdot 2+d&=0\\a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 1+d&=0\\a\cdot 3+b\cdot 1+c\cdot 1+d&=0，{aligned}$

给 $b=-2a，c=a，d=-2a\qquad（2）$

替代 $（2）$进入 $（1），$我们有

$\ begin {对齐} ax + -2ay + az -2a＆= 0 \\ x -2y + z - 2＆= 0。\结束{对齐}$

因此，通过三个点的平面方程 $A=（0,0,2），B=（1,0,1）$和 $C=（3,1,1）$是

$x-2y+z-2=0_\广场$

如果一个平面通过这三个点 $A=（3,1,2），B=（6,1,2），$和 $c =（0,2,0），$那么飞机的等式是什么？

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让飞机的等式成为 $AX + + CZ + D = 0。QQuad（1）$

然后这个平面包括三个点 $a =（0,0,2），b =（1,0,1），$和 $C =（3,1,1），$我们有

$\ begin {对齐} a \ cdot 3 + b \ cdot 1 + c \ cdot 2 + D＆= 0 \\ a \ cdot 6 + b \ cdot 1 + c \ cdot 2 + d＆= 0 \\ a \ cdot0 + B \ CDOT 2 + C \ CDOT 0 + D＆= 0，\结束{对齐}$

给 $a=0，c=\frac{1}{2}b，d=-2b\qquad（2）$

替代 $（2）$进入 $（1），$我们有

$\ begin {对齐} 0x + -by + \ frac {1} {2} bz -2b＆= 0 \\ x -y + \ frac {1} {2} z - 2＆= 0 \\ 2x - 2y +z-4＆= 0。\结束{对齐}$

因此，通过三个点的平面方程 $a =（0,0,2），b =（1,0,1），$和 $C=（3,1,1）$是

$2x-2y+z-4=0_\广场$

尝试以下问题：

本节旨在通过尝试几个问题来提高您解决问题的能力。

• 三维坐标几何图形-平行平面

• 3D坐标几何 - 垂直平面

• 3D坐标几何 - 飞机的交叉点

• 三维坐标几何图形-斜线