3D坐标几何形状 - 平面的交集

三维空间中的两个平面之间有三个可能的关系。他们可以平行线，，，，完全相同的，或者他们可以相交。比较平面的正常向量为我们提供了有关两架平面之间关系的大量信息。如果正常向量是平行的，则两个平面是相同的或平行的。如果正常向量不平行，则两架飞机会相遇并制作交集线，这是两个飞机上的一组点。下图描绘了两个相交的平面。

平行线角度偏见

获得两个平面之间交点线方程的方式是找到满足两架平面方程的点集。由于平面的方程式由三个变量组成，并且给出了两个方程（因为我们有两个平面），因此求解同时方程将在三个变量之间给出关系，这等同于交叉点的方程。下面的示例说明了如何完成此过程。

找到以下两个平面的交点的方程：

$\ begin {Aligned} \ alpha：x+y+z＆= 1 \\ \ beta：2x+3y+4z＆= 5。\ end {Aligned}$

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消除 $z$给予

$2x = -y-1，\ qquad（1）$

并消除 $y$给予

$2x = 2z-4。\ qquad（2）$

因此，从（1）和（2）中，两个平面之间的交点方程 $\α$和 $\ beta$是

$2x = -y-1 = 2z-4 \含义x = \ frac {y+1} { - 2} = z-2。\ _ \ square$

做以下两架飞机 $\α$和 $\ beta$遇见？

$\ begin {Aligned} \ alpha：2x + y -z＆= 6 \\ \ beta：-4x -2y + 2z＆= -5 \ end end {aLigned}$

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飞机的正常向量是 $\ vec {n _ {\ alpha}} =（2，1，-1）$和 $\ vec {n _ {\ beta}} =（ - 4，-2，2），$分别。

自从 $-2 \ vec {n _ {\ alpha}} = \ vec {n _ {\ beta}}，$两个平面的正常向量是平行的，这意味着两个平面 $\α$和 $\ beta$是平行的或相同的。

重点 $（3,0,0）$在飞机上 $\α$但不是 $\ beta，$这意味着这两个平面并不相同。因此，两架平面是平行的，不相遇。 $_\正方形$

以下两架飞机的条件是什么 $\α$和 $\ beta$互相见面？

$\ begin {Aligned} \ alpha：3x + ay -2z＆= 5 \\ \ \ \ beta：6x + by -4z＆= 3 \ end end {aligned}$

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两架平面的正常向量 $\α$和 $\ beta$是 $\ vec {n _ {\ alpha}} =（3，a，-2）$和 $\ vec {n _ {\ beta}} =（6，b，-4），$分别。

请注意 $b = 2a，$两个普通向量是平行的。在这种情况下，因为 $2 \ times5 \ neq3，$这两个平面不是相同的，而是平行的。

由于三维空间中的两架平面如果不平行，总是会遇到 $\α$和 $\ beta$见面是 $b \ neq2a。$ $_ \正方形$

以下两个平面之间的交点线方程是什么 $\α$和 $\ beta？$

$\ begin {Aligned} \ alpha：x-y+4z＆= 2 \\ \ beta：x+2y-2z＆= 4 \ end {aligned}$

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消除 $X$通过减去两个方程式给出

$6z = 3y-2。\ qquad（1）$

消除 $y$通过将第一个方程乘以2并添加第二个方程式给出

$6z = -3x+8。\ qquad（2）$

因此，来自（1）和（2）交点线的方程是

$-3x+8 = 3y-2 = 6z。\ _ \正方形$

什么是多少 $xy$-飞机， $Yz$-飞机， $xz$- 平面和飞机 $x+y+z = 4？$

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平行线角度偏见

如上图所示，这四个平面是四面体。

这 $X$- ，， $y$-， 和 $z$- 飞机的截距 $x+y+z = 4$是 $a =（4,0,0），b =（0,4,0），$和 $C =（0,0,4），$分别。

因此，卷 $v$四面体是

$\ begin {Aligned} v＆=（\ text {base}}）\ times（\ text {height}）\ times \ frac \ frac {1} {3} {3} \\＆= \ left（4 \ cdot4 \ cdot \ cdot \ frac \ frac \ frac \ frac \ frac{1} {2} \ right）\ times 4 \ times \ frac {1} {3} \\＆= \ frac {32} {3}。\ _ \ Square \ End {Aligned}$