三维坐标几何-垂直平面

让两架飞机 $\α$和 $β\$定义如下:

$\开始{对齐}\α:现代{1}x + b_ {1} y + c_ {z} + d_{1} & = 0 \ \ \测试:现代{2}x + b_ {2} y + c_ {z} + d_{2} & = 0,结束\{对齐}$

然后是平面的法向量 $\ overrightarrow {n_ {1}}$和 $\ overrightarrow {n_ {2}},$分别是

${对齐}\ \开始overrightarrow {n_{1}} & =(现代{1},b_ {1}, c_ {1}) \ \ \ overrightarrow {n_{2}} & =(现代{2},b_ {2}, c_{2})。结束\{对齐}$

平行一个ngleBisector

当两个平面 $\α$和 $β\$是垂直的，它们的法向量也是垂直的它们的点积是0。也就是说,

$\右转{n_{1}} \perp \右转{n_{2}} \暗示\右转{n_{1}} \cdot \右转{n_{2}} = 0。$

因此，两个平面相互垂直的条件是

$现代{1}现代{2}+ b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_{2} = 0。$

如果两架飞机 $\α$和 $β\$是

$\begin{align} \alpha: 3x+y+z+3 &= 0 \\ \beta: -x + 2y+z+5 &= 0， \end{align}$

然后是两个平面 $\α$和 $β\$垂直的吗?

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平面的法向量是

${对齐}\ \开始overrightarrow {n_{1}} & =(3、1,1)\ \ \ overrightarrow {n_{2}} & =(1、2、1)\{对齐}结束$

分别。因为它们的点积是

$\开始{对齐}\ overrightarrow {n_ {1}} \ cdot \ overrightarrow {n_{2}} & =(3、1,1)\ cdot(1、2、1)\ \ & = 3 + 2 + 1 \ \ & = 0,结束\{对齐}$

这两个平面垂直。 $_ \广场$

有两个平面 $\α$和 $β\$定义为

$\begin{align} \alpha: ax+y+az-4 &= 0 \\ \beta: 3x -2y+z+7 &= 0。结束\{对齐}$

如果这两个平面是垂直的，那么 $一个吗?$

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平面的法向量是

${对齐}\ \开始overrightarrow {n_{1}} & =(一1)\ \ \ overrightarrow {n_{2}} & =(3,2,1) \{对齐}结束$

分别。法向量的点积是

${对齐}\ \开始overrightarrow {n_ {1}} \ cdot \ overrightarrow {n_{2}} & =(一1)\ cdot (3,2,1) \ \ & = 3 a + \ \ & = 4 a。结束\{对齐}$

当两个平面垂直时，它们的法向量的点积是0。因此,

$a-2=0意味着a = frac{1}{2}。\ _ \广场$

通过点的平面的方程是什么 $= (2, 1, 3)$垂直于线段 $公元前\眉题{},$在哪里 $B =(3、2、3)$和 $C = (0, 1, 3) ?$

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通过点的方向向量 $B =(3、2、3)$和 $C =(0、1、3)$是

$\overrightarrow{BC} = (- 3,3,0)，$

也就是这个平面的法向量。

因此，通过点的平面方程 $= (2, 1, 3)$是

$开始\{对齐}3 (x - 2) + 3 (y-1) + 0 (z-3) & = 0 \ \ \ Rightarrow - x + y + 1 & = 0。\ \ _ \广场结束{对齐}$

垂直于线段的平面的方程是什么 $\眉题{AB}$穿过点 $一个,$在哪里 $= (2 0 3)$和 $B = (3,2,1) ?$

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通过点的方向向量 $= (2 0 3)$和 $B = (3,2,1)$是

$\右转{AB} = (1, 2， -4)，$

也就是这个平面的法向量。

因为飞机经过点 $= (2 0 3),$这个平面的方程是

$开始\{对齐}1 (x - 2) + 2 (y₀)4 (z-3) & = 0 \ \ \ Rightarrow x + 2 y-4z + 10 & = 0。\ \ _ \广场结束{对齐}$