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∑ n ＝ 1 ∞ 1 n 2 + 3. n + 2 ＝ ？ \ \ displaystyle \大sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2 + 3 n + 2} = \ ? n＝1∑∞n2+3.n+21＝？
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1 + 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20. + ．.. ＝ ？ 1 + \压裂{1}{\颜色# 3 d99f6}{2} + \压裂{1}{{# 3 d99f6} \颜色6}+ \压裂{1}{\颜色{# 3 d99f6}{12}} + \压裂{1}{\颜色{# 3 d99f6} {20}} + \ ldots = {teal} \ \颜色? 1+21+61+121+201+．..＝？
考虑以下模式:
1 1 × 2 ＝ 1 1 − 1 2 1 2 × 3. ＝ 1 2 − 1 3. 1 3. × 4 ＝ 1 3. − 1 4 ⋮ {对齐}\ \开始压裂{1}{1 \ * 2}& = \压裂{1}{1}- \压裂{1}{2 } \\ & \\ \ 压裂{1}{2 \ * 3}& = \压裂{1}{2}- \压裂{1}{3 } \\ & \\ \ 压裂{1}{3 \ * 4}& = \压裂{1}{3}\压裂{1},{4}\ \ \ vdots & \{对齐}结束 1×212×3.13.×41⋮＝11−21＝21−3.1＝3.1−41
按照上面的模式，如果 1 11 × 12 ＝ 1 一个 − 1 b ， \ \ displaystyle \压裂{1}{11乘以12}= \压裂{1}{}- \压裂{1}{b}, 11×121＝一个1−b1，价值是什么 一个 一个 一个和 b b b？
1 1 × 2 + 1 2 × 3. + 1 3. × 4 + ⋯ + 1 99 × One hundred. ＝ ？ \ \大型压裂{1}{1 \ * 2}+ \压裂{1}{2 \ * 3}+ \压裂{1}{3 \ * 4}+ \ cdots + \压裂{1}{99 \乘以100}= \ ? 1×21+2×3.1+3.×41+⋯+99×1001＝？
1 1 ⋅ 3. + 1 3. ⋅ 5 + 1 5 ⋅ 7 + 1 7 ⋅ 9 + ⋯ ＝ ？ \ \大型压裂{1}{1}\ cdot 3 + \压裂{1}{3 \ cdot 5} + \压裂{1}{5 \ cdot 7} + \压裂{1}{7 \ cdot 9} + \ cdots = \ ? 1⋅3.1+3.⋅51+5⋅71+7⋅91+⋯＝？
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